一个不等式的推广

张乐千

(北京师范大学附属实验中学 100032)

1 引言

《数学通报》 2018年5问题 24211如下：

作者在《数学通报》2018年第57卷第6期[2]中给出了解答.

该不等式可从如下几方面做推广.

从项数推广，但各项之和仍为3，则有如下定理.

若项数之和改为n,则有如下结论.

上面两个结论是从项数入手做的推广. 若是指数也做推广，会有怎样的结论？我们用参数法经过推理尝试，(过程有些繁琐，在此推测过程省略).得到如下两个猜想.

从项数推广，但各项之和仍为3，指数也做推广，有定理3.

项数、指数、项数之和也做推广，有如下结论.

2 主要定理的证明

定理1的证明类似[2]的证明，用均值不等式[3], 得到

求和，得

进一步变形，有

(1)

定理2的证明类似定理1的证明，用均值不等式，得到(1)式.

定理3的证明由均值不等式得

=(4k+3)aj, 1≤j≤n.求和得

变形，得

(2)

定理4的证明

注在本定理中，令n=3,k=1,则得到[1] 中的定理.