数学问题2313号引致的一条不等式链

何 灯

(福建省福清第三中学 350315)

设△ABC的3条边长为a,b,c，其内切圆半径、半周长、面积分别为r、s、S.对应边上的旁切圆半径、高线、角平分线、中线长分别为ra、rb、rc；ha、hb、hc；wa、wb、wc；ma、mb、mc.

2016年第7期《数学通报》中的2313号问题：

(1)

文[1]中得到和式(1)类似的如下三个不等式.

更一般地，文[1]中建立了定理1的指数推广形式.

定理2对于n∈N+且n≥2，有

评注1根据文[1]中定理2的证明过程，条件n∈N+可略去，即定理2对不小于2的实数n均成立.

读罢文[1]，笔者感触颇深，不禁联想到与之相关的几篇文章.

(2)

受定理2、3的启发，笔者思考能否将两个定理中的不等式进行串联，以进一步揭示它们之间的联系.经探究，得到如下结论：

定理4设p≥2，则

证明据定理2、3，只需证明

同理可得

由熟知的不等式∑x2≥∑xy(x,y,z>0)，

综上，定理4成立.