把握教材变化 凸显单元教学——以“正切函数的性质与图象”为例

祝维男

（江苏省南通市通州区金沙中学，226300）

“正切函数的性质与图象”是继正弦、余弦函数图象与性质后研究的又一个三角函数内容.以往教材一般采用迁移类比研究，先根据已学的知识或经验作出函数的图象，再根据函数图象直观地认识函数的性质，最后再用代数的方法对观察得出的性质严格证明或表述.然而，人教社A版教材采取利用性质研究函数图象的方法，先结合已学的正切函数的相关知识，总结正切函数的部分性质（奇偶性、周期性等），再根据这些性质作出正切函数的图象，并完善正切函数的其它性质.因此，本教学设计在实现“掌握正切函数的图象与性质；理解并掌握正切函数性质与图象的研究方法；渗透数形结合的基本思想，培养发现问题、解决问题的能力，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养”目标的基础上，力图顺应教材变化，凸显单元教学，着力渗透利用性质研究图象的重要方法，妥善处理教材中不涉及三角函数线等知识的变化.

一、课堂教学设计

1.在回顾复习中迁移

问题1 结合所学，你能说出正弦函数（余弦函数）的图象与性质的研究过程吗？

y=sinx，x∈ ［0，2π］→y=sinx，x∈R→正弦函数的性质.

问题2 我们是怎样作出y=sinx，x∈［0，2π］的图象的？

利用单位圆的性质作出y=sinx，x∈［0，2π］的图象（等分角、利用单位圆的性质、平移线、连结点）.

问题3 我们是怎样得到y=sinx，x∈R的图象的？原理是什么？

平移，周期为2π.

问题4 正弦函数、余弦函数研究了哪些性质？

定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性.

问题5 对于正切函数，我们有哪些知识储备？

设计意图 复习正弦、余弦函数的性质，让学生明白正切函数要研究哪些性质.复习正弦、余弦函数的图象与性质的研究过程，有助于将已有的研究方法、研究经验迁移到对正切函数的性质和图象的研究中.复习学生已经掌握了的正切函数定义、单位圆中的三角函数（新人教A版教材没有介绍三角函数线），以及与正切有关的诱导公式等知识，能为本节课的学习提供知识保障.

2.在合作探究中构建

问题6 根据已有的研究经验、知识储备，如何研究正切函数的性质与图象？

问题7 根据已有的知识准备，你能得到正切函数的哪些性质？

定义域、周期性、奇偶性.

问题8 正切函数的周期性和奇偶性对研究正切函数的图象有什么帮助？

问题9 你能重新规划出作正切函数图象的路径吗？

设计意图 在解决问题6时，学生自然会类比正弦函数图象与性质的研究方法，探求正切函数的性质与图象.数学课堂教学不仅仅是向学生传递具体的数学知识，而是要以数学知识为载体，教授学生数学探究的方法.研究函数的常见方式有两个：① 通过作出函数图象，直观地总结函数的相关性质；② 运用性质研究函数图象（尤其一些无法准确画出图象的函数）.基于以上原因，规划出“根据已有知识得到正切函数部分性质→正切函数图象→正切函数其它性质”的研究路径.通过让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问题的方法.

图1

问题11 结合正切函数的性质，画出正切函数的图象（如图2）.

图2

问题12 结合图象说出正切函数的图象有何特征？

（1）正切函数的图象是由无穷多支形状完全相同的曲线组成的；

（4）无最小值也无最大值，值域为R；

（5）图象关于点（kπ，0）中心对称.

问题13 （1）正切函数在定义域内是增函数吗？为什么？

（2）正切函数的图象还有其他对称中心吗？

（进一步完善正切函数的性质）

设计意图 这里不是对前面性质的简单重复，而是性质的完善、认识的升华.观察图形得到特征，由特征总结性质（由形到数，由几何直观到自然语言，再到数学语言，自然贴切），通过这一环节，使得数形结合的数学思想得到无形的渗透.

3.在示范交流中体验

例2 求满足下列条件的x的集合.

（1）tanx=0；（2）tanx≥-1.

例题示范中引导学生养成“观察、比较、分析、概括”的习惯.

4.在总结反思中提升

（1）一条主线：

（2）两种方法：由函数图象直观总结函数性质，结合相关性质辅助作图.

（3）三类素养：逻辑推理、直观想象、数学运算.

二、教学设计感悟

1.树立观念，突出素养导向

《数学课程标准》明确要求，在数学的学科教学和学习过程中，要培育学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六大核心素养.基于这样的要求，教师在课堂准备的过程中要提高自身的思想站位，要把单纯的通过知识传授培养学生分析和解决问题的能力，转变到引导学生加强数学理解、把握数学本质、关注数学应用上来，从而达到提升学生数学学科素养的育人目标.因此一堂课的教学设计，首先要思考可以提升学生什么数学核心素养？在哪个环节可以着重培育什么数学核心素养？这样在备课活动中落实数学核心素养就有了着力点，在课堂教学中培育提升数学核心素养就找到了生长点.如，本节课的教学设计在“已知知识储备中总结正切函数的部分性质”这一环节中，着力培育学生数学抽象的核心素养；在“根据已有经验，类比探究方法，规划研究路径”中着力培育学生逻辑推理的核心素养；在“观察提炼函数图象特征，总结完善正切函数性质”中着力培育学生直观想象的核心素养.

2.精心设计，构建单元教学

遵循学生学习的一般规律，整体把握学习内容间的联系，帮助学生构建知识框架，提升学科核心素养.新课程倡导学科主题单元教学，什么是主题单元教学呢？华东师范大学崔永漷教授认为，单元设计超越了知识内容的本身，涉及该内容的完整学习，超越了知识的习得或掌握目标，关注知识在情境中的应用；超越了知识点的孤立思维，强调在特定环境中解决问题或完成任务时所需知识的连接和关联.也就是说，主题单元教学需要教师整体把握知识脉络，理解教材的实质，抓住数学的本质以及学生的认知规律，在设置单元教学任务和目标的基础上，构建课时任务和目标，实现课程教学从知识立意到素养导向的转化.本节课是正弦、余弦函数图象与性质的后续学习，它既是对前面所学的知识和方法的巩固和提升，又是对函数图象与性质研究方法的补充.所以这节课的设计主要是为了提供给学生数学问题研究的更多视角，在已有性质的帮助下可以更加便捷地作函数图象，探究函数更多性质，强化了数学理性思考的成分，更加全面地体现了数形结合的思想

3.细致探究，加强深度学习

核心素养的渗透是在具体的教学过程中进行的，并不是课程改革的额外负担，需要改变教师传统的“育分”、“育知”教学，转变观念、提高认识，达成提升学生数学核心素养的“育人”目的.深度学习作为能使得核心素养落地的重要途径，它并不是我们以往所认为的知识难度的加深，而是思维的深刻性的体现；是以整体性的知识为载体，以问题解决和思维发展为主要目标，以主动积极的态度进行建构性、批判性的学习.这节课中采用了“问题导学”的形式，课堂紧紧围绕“学习什么，如何联系，为什么学，学习方法，怎样延伸”等设计问题，规划课堂的探究路径，从传统的“正切函数图象与性质是什么”的知识传授教学，转变成指向“与正弦、余弦图象与性质研究有关”、“已有知识的储备可以优化研究路径”、“未知函数图象和性质的研究到底有哪些方法”等等提升素养的教学.