最值问题的求解策略

朱 丽

（江苏省梁丰高级中学，215600）

最值问题是高考数学命题的热点，其考题方式呈多元化，既有选择题或填空题，又有解答题，设问灵活，综合性强，注重考查分析问题和解决问题的能力，具有一定的难度.本文着重分析高中数学中涉及主要知识点的几个最值问题，供参考.

一、一元函数的最值

“导数法”是解题的主要方法，如果是二次函数或简单的分式函数，也可考虑用“配方法”或“均值不等式”法.

点评 用导数求一元函数的最值，解题过程可以程序化，即先求导，求驻点，再判断函数单调性，然后将驻点代人函数式求出最值.

二、多元函数的最值

一般是运用“均值不等式”整体求出最值.如果条件允许，也可以通过消元转化为一元函数的最值问题.

点评 有些已知条件中给出了等式条件，运用此等式是解题的关键，此题的结构极为精巧，条件等式比较隐含，通过找出定点就使问题变得真相大白了.

三、三角函数的最值

一般是将条件式化为一个复合角的三角函数式，利用正弦、余弦函数的有界性求最值，或转化为复合二次函数问题求解.

例3 （2008年四川高考题）求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值.

解析 7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin 2x+4cos2x（1-cos2x）=7-2sin 2x+4cos2xsin2x=7-2sin 2x+sin22x=（1-sin 2x）2+6.由于sin 2x∈ ［-1，1］，且函数y=（1-x）2+6在［-1，1］上单调递减，当sin 2x=-1时，函数y有最大值（-1-1）2+6=10；当sin 2x=1时，函数y有最小值（1-1）2+6=6，即函数的最大值10，最小值6.

点评 求三角函数的最值是高考中最常见的题型，一般都是中档题.利用三角公式化简三角函数式是解题的重点.

四、实际应用问题中的最值

根据条件建立目标函数，可变为一元函数或三角函数最值问题，但要注意自变量的取值范围.

例4 （2004年全国高考题）某轮船航行过程中每小时的燃料费与其速度的立方成正比，已知当速度为10千米／时时，燃料费为10元／时，其他与速度无关的费用每小时180元. （1）轮船的速度为多少时，每千米航程成本最低？（2）若轮船限速不超过20千米／时，求每千米航程的最低成本.

点评 抓住题中的速度、时间、费用之间的数量关系，可以得到关于每千米航程成本的分式型目标函数.观察对比此题的两小题，可以发现函数自变量范围对求解优化问题方法选择上的影响.

五、平面区域中的最值

利用平面区域，数形结合解题.

图1

点评 抓住问题的几何特征，或分析问题的几何背景，以形助数、以形解数是中学数学的重要思想方法.

六、数列中的最值

根据数列的性质，结合一些代数求最值的方法来求解.

例6 已知数列｛an｝的通项公式an=-2n3+24n2+18n+2，（n∈N），求数列的最大值项.

解析 ∵an+1-an=-2（n+1）3+24（n+1）2+18（n+1）+2-（-2n3+24n2+18n+2）=2n（21-3n）+40，当n≤7时，an+1-an≥0，即an+1≥an，当n≥8时，an+1-an＜0，即an+1＜an，∴数列｛an｝的最大值项可能为a7或a8，经计算知a8=658为最大值项.

点评 在数列｛an｝中，若an为最大值项，则an≥an+1且an≥an-1；若an为最小值项，则an≤an+1且an≤an-1.由此可列出不等式组求出正整数n.

七、立体几何中的最值

运用立体几何知识，分析线面关系及数据结论，通过建立目标函数求解.

例7 二面角α-CD-β的度数为θ，A为α上一点，△ADC面积为S，且DC=m，过A点作直线AB交半平面β于B，使AB⊥DC，且与半平面β成30°角，当θ为何值时，△BCD的面积取最大值，并求出最大值.

图2

点评 用三角知识解决立体几何中的求值问题是常见形式，同样用三角知识帮助解决有关的最值问题也是正确的选择.

八、解析几何中的最值

将解析几何问题函数化，再用函数求最值的方法解题.

（2）当k=0时，MN为椭圆的长轴，

点评 在分析题意的基础上，通过转化向量关系，再利用斜率的相关运算建立了关于面积的函数关系，为后续解题指明了方向.