解三角形中常见的几种最值问题

李虎鹏

摘 要 在高考中，解三角形是其中的重点考察部分，也是热点、难点。解题时需要运用各种数学公式进行解答，还要了解三角形的一些平面性质进行辅助，原本解三角形的题型一般比较靠前，所以难度并不大，但是一旦解三角形与不等式结合之后，从学生的掌握能力来看就并不是很好了。本文就是对解三角形中的几种最值问题进行总结和思考。

关键词 解三角形;常见;最值问题

中图分类号：R741.041 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2020）05-0176-01

历年来，高考都是人们关注的重点对象，对于数学的提醒研究和总结，都一直是教育界的重点，而解三角形又是高考中的必考题型，自然受到了不少的关注，这类题型本身不难，但是它涉及的知识面广、灵活性大、综合性强，特别是加入了不等式之后，很多学生就不能够熟练掌握了。不仅要对公式特别熟悉，并且还要对平面图形进行研究，再加上不等式，让许多学生难以入手。本文将举例说明几种常见的解三角形最值问题的题型，使得学生学会这类题型的通式解法，在考场上可以节约大量的时间。

一、转换为三角函数，利用三角函数的有界性质

在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C所对应的边，若a=√3，A=兀/3，则b+c的最大值为多少？

这种问题，首先就是考察学生对于三角形的公式的记忆与运用，教师可以根据正弦公式或者余弦公式对三角形的边和角进行转换，将目标边的函数转换成角的函数，有现成的公式，就可以直接进行破解。由正弦公式可得：b=2sinB，c=2sinC，那么b+c=2sinB+2sinC，在这里，我们根据题意，可以知道A=兀/3，因此B+C=2兀/3，可以将B和C转换，C=2兀/3-B，b+c=2sinB+2sin（2兀/3一B），现在的式子转变成只剩下了关于角B的式子，利用三角函数的恒等变化和题意进行化简，2sinB+2sin（2兀/3一B）=2sinB+2sin（√3/2cosB+2sinB，最后化简为2√3sin（B+兀/6），再利用三角函数的单调性和值域进行求解，B∈（0，2兀/3]，2√3sin（B+兀/6）∈（√3，√3/2）。

这样的题型，已经知道了一个角的度数，以及这个角的边长之后，就可以根据三角形的正、余弦定理对它进行转换，将里面其他两条的边长全部转换为角的表达方式，之后运用三角函数的恒等变换为同边同角，再进行简化，这需要学生掌握三角形的各个公式，最后再利用三角函数的单调性和值域求解，这需要学生还要掌握三角函数的性质，综合性比较高，但是这种方式比较适合学生的思路。

二、利用基本不等式求解

在△ABC中，内角A、B、C所对应的a、b、c。若a?+b?+ab=1，c=1，求C和△ABC的面积最大值是多少？

这一道题，首先需要通过三角形的余弦定理和三角形的性质求得C的大小，c=1，因此C?=1，a?+b?+ab=1，所以，a?+b?-c?=-ab，余弦公式：cosC=a?+b?-c?/2ab=-ab/2ab=-1/2，这时候我们根据三角形的性质，知道C大于0小于π，再根据余弦定理，可以得知C=2π/3，且根据三角形的定理，a和b肯定是非负数，因此，（a+b）?≥0，因此，结合题意，可以得知ab≥1/3，且当且仅当a=b的时候，ab最大值为1/3，知道了C的度数，再根据三角形的面积公式就可以得出面积最大值为√3/12。

这一道题在解题的时候，就运用到了不等式的解法，这其实需要考察的是学生对于三角函数公式的掌握与经过转变，以及对于三角形性质的掌握，重难点就在于利用三角形的性质，求得值域。

三、利用二次函数的性质求解

已知△ABC中，AB=2，AC=√3BC，求△ABC面积的最大值。

首先可以设BC=x，则△ABC的面积S=1/2AB· AC· sinB=√x?（1-cos?B），根据余弦公式，可以表示出关于cos?B的關系式为（2-x?）/2x，现在所有的未知数都可以用x来转换，最终面积公式S就变成了1/2√-（x?-4）?+12，最大值的话，就一定是（x?-4）?等于0的时候，再根据三角形的性质，由此可以得出当且仅当x=2时，最大值为√3。

这就是利用二次函数的方式对三角形的面积最大值求解，重点就在于运用余弦定理和三角函数性质的掌握列出不等式，根据三角形的性质和等式的关系上去判断最大值或者最小值。

四、总结语

解三角形对于学生的综合能力要求比较高，因此，通过讲解之后，学生如果还是处于一知半解的状态，就需要多加练习，熟练掌握才是最重要的。这样的题型万变不离其宗，只要能够熟记它的解题公式，再对三角形的平面性质有一定掌握，就能够面对这些问题了。因此，学生应该重视在公式上的记忆，只要在考试的时候，关于解三角形的余弦定理、正弦定理等等可以马上在脑海里反应出来，就可以解决很多的时间，剩下的解题思路的练习放在平时多做一些题型的训练就可以了。解三角形本身难度系数也不大，只要对知识点能够熟练、灵活地运用即可。本文只是通过几个简单的例子进行解析，希望对此有所帮助。

参考文献：

[1]刘玉文.解三角形最值问题的策略.初中数学教与学.

[2]田卫东.一道三角形最值问题的解法赏析与思考.中学数学教学，2017.

[3]韩多瑞.解三角形中的最值问题的自然之法.语数外学习（高中版下旬），2015.