一个变式教学的案例设计与分析

余红宴

摘 要：变式教学是数学教学改革的成功经验，被认为是有效促进数学学习的中国方式。文章从一道课后习题出发，成功设计过程性变式案例，并对案例进行了分析和总结。

关键词：习题教学;变式教学;数学思维;过程性变式

变式教学在国际上被认为是促进有效的数学学习的中国方式，马顿（Marton）理论为变式教学提供了认识论基础和支撑理论。在《华人如何学习数学》的著作中，变式教学已经成为“中国学习者”现象的正面评价之一[1]。近些年来，中小学已有很多教师开展变式教学方面的实践[2-9]。顾泠沅提出了变式教学的两种类型：概念性变式和过程性变式[1]。

本文从一道高中课后习题出发，基于数学问题解决的基本思路，设计问题串，形成过程性变式案例。

1 课后习题

[原题]如图1，把一段半径为的圆木，锯成横截面为矩形的木材，怎样锯法才能使横截面面积最大？

[问题分析]将问题抽象为一个圆形内接矩形的面积最大值问题。

[解答]因为锯得的矩形是圆内接矩形，所以它的对角线是圆的直径，其长度应为2R，设对角线与一条边的夹角为α，则矩形的长和宽分别为2Rcosα，2Rsinα。所以矩形的面积

当且仅当等号成立。

即时α=45°时，，此时矩形为内接正方形。

2 过程变式设计

[变式1] 如图2，[原题]中的“圆木”改为“半圆木”呢？

[解答] 由题意可知AB=2Rcosα，BC=Rcosα，由此可知

当且仅当2α=90°，即α=45°时，Smax=R2。此时，矩形长与宽之比为2：1。

[变式2]如图3，[变式1]中的“半园”改为“园心角为90°的扇形”呢？

[解答]由题意可知OA=Rcosα，AB=Rsinα，即

当且仅当2α=90，即α=45°，。此时，矩形是正方形。

[变式3]如图4，[变式2]中的“圆心角为90°的扇形”改为“中心角为45°的扇形”呢？

[解答]设，BC=Rsinα，OA=AD=Rsinα，BC=Rsinα，由此可得

当且仅当α=22.5°，矩形的面积最大。

[变式4] 如图5，[变式3]中的“园心角为45°”改为“园心角为θ”（0°<θ<90°）呢？

[思考分析]设，，由此可得

BC=Rsinα，CD

所以，

[变式5]如图6，改变[变式2-4]中对矩形的放置限制呢？

[思考分析]因为图6扇形是轴对称图形，对称轴的两边恰好是[变式4]的情形。

[变式6] 如图7，从[变式1]“锯圆木”回归生活实际中，[变式5]可以改编为一道古代扇形窗户的设计题。

[应用题]，如图7所示，有一半径为的古代扇形窗户，中心角为2θ，现要求改造为一矩形窗户，问如何设计才能使矩形窗户的面积最大？

3 教后反思

高中教材课后习题，都具有典型性、可探索性。可以根据过程性变式理论，设计问题串，引申，扩展，使得学生的思维能力在变式的过程得到训练，扩宽学生的解题思路，能够有效促进数学问题解决的迁移能力的提高。随着新课程改革的深入，看似“慢”的教学，只要长期坚持，就会极大的加快数学课堂教学效率的提升，实际上是一种“快”的教学。

参考文献：

[1] 范良火等.华人如何学习数学[M].南京：江苏教育出版社，2005.

[2] 张景龙.变式教学在高中数学教学中的有效性研究[J].课程教育研究，2019（44）：74.

[3] 陈贵玲.巧用变式教学 创新教学情境[J].中国农村教育，2019（29）：104-105.

[4] 刘金发.初中数学变式教学的概念及实施策略探索[J].数学学习与研究，2019（19）：58.

[5] 陈贵玲.巧用变式教学 创新教学情境[J].中国农村教育，2019（27）：77-78.

[6] 李栋梁.变式训练教学模式在高中数学解题中的应用分析[J].数学学习与究，2019（18）：131.

[7] 丁国兰.注重变式教学，提升学生的思维能力[J].数学教学通讯，2019（26）：24-25+36.

[8] 鄭福梅.利用变式教学培育数学学科核心素养的思考[J].数学教学通讯，2019（24）：36-37.

[9] 王新星.浅谈高中数学课堂中的变式教学[J].数学教学通讯，2019（24）：67-68.