指导高中生数学建模“四部曲”

李中华

[摘  要] 在高中数学教学中，指导高中生进行数学建模十分重要，培养学生的数学建模能力有助于学生解题效率的提高，以及学生数学思维的完善.基于此背景，对借助问题情境，驱动数学建模;引导动手操作，推进数学建模;结合实际生活，引导数学建模;借助媒体辅助，深化数学建模的策略进行了探究.

[关键词] 高中数学;数学建模

在高中数学教学中，引导学生进行数学建模十分重要. 数学建模的实质简单地说就是利用建立数学模型方法对数学问题进行解答，在这个过程中一般会牵扯到数学语言中的数量关系以及空间形式的形成. 培养学生的数学建模能力有助于学生解题效率的提高，以及学生数学思维的完善. 但是，现在依旧有部分高中生在数学建模方面的能力相对较差，甚至有很多学生在解决数学问题的时候依旧缺乏建模意识，这直接导致这部分学生在面对数学问题时难以解决，对数学学习也会逐渐排斥. 教师在教学的过程中要引领学生学会通过建立数学模型的方法解决数学问题，这样一方面能使得学生的解题效率得到提高，通过解题效率地提高促使其学习效率得到大幅提升，进而提高学习成绩;另一方面还能使学生自身的创造性得到增强，数学学习核心素养得到提升.

[?]借助问题情境，驱动数学建模

在对高中学生进行数学建模能力的培养时，需要教师将课堂环境进行开放化设置，让课堂的学习氛围变得和谐愉快，从而使得学生对数学学习充满兴趣，学生的数学学习能力自然而然就得到了提高. 在这个过程中，问题情境的设计是十分重要的，教师在设计问题情境时要结合高中生的心理状态，问题设置的难易要适中，并能够使学生的思维得到发展. 同时也要符合本节课的基础和重点内容，应当能够与学生的生活经验相联系，其知识能够对学生的生活产生一定的价值与意义.

例如，一位教师在教学“二元一次不等式”一课时，向学生提出如下问题：（1）有一家银行准备投入3000万元给予各大企业和个人进行贷款，银行期望这笔资金的投入能够给银行本身带来至少4万元的经濟收益，其中银行贷款给企业能够获益的金额为15%，贷款给个人能够获益的金额为10%，那么银行要达成期望应将这批资金如何分配呢？（2）一个班级组织春游，使用若干辆46个座位的客车，刚好将班级内所有人装满;若使用若干辆64个座位的客车，正好比使用46个座位的客车数辆少一辆，且还有1辆64个座位的客车人数只是超过了一半，但没有坐满. 已知选择租用46座客车需要支付的费用是240元/辆，租用64座客车需要支付的费用是300元/辆. 试问本次出游该班级租用哪种客车比较合算？接下来这位教师适时地将学生分为若干小组进行讨论，开放课堂环境，学生的讨论十分激烈且有效，课堂学习氛围非常好.

在上述的教学案例中，这位教师通过设计问题，架构起数学知识与生活之间的桥梁，从而将学生的学习兴趣调动开来，使得学生对于这类问题的解决充满自主性，学生的建模能力自然而然得到了增强，教学效率也得到了提升.

[?]引导动手操作，推进数学建模

“眼过千遍不如手过一遍”. 这句话可以充分表明亲自动手去获得的知识比仅仅通过课堂听讲更加牢固. 基于这个原因，教师应当在引导学生建立数学模型时，引导学生开展动手操作学习，让学生在动手操作的过程中完成数学建模.

例如，一位教师在教学《古典概型》一课时，就充分考虑到概率问题对于学生来说比较抽象难懂，因此通过开展实验的教学方式来引导学生学习，从而帮助学生在动手操作过程中对古典概型这一概率模型加以了解与强化. 教师给学生呈现了这样一个问题情境：有三件产品，其中有两件正品分别为a、b，有一件次品为c. 如果从这三件产品中每次都任意取出一件，进行这样的行为两次，求我们所取出的这两件产品之中恰好有一件产品是次品的概率. 学生根据每次取出的产品都不放回和每次取出的产品都放回进行操作学习，让学生在操作学习的过程中，建立相应的数学模型.

在教学这一概率问题时，教师引导学生借助手边的任意三件物品分别用来代表题干中所描述的两件正品a、b以及一件次品c. 接下来教师组织学生亲自动手进行实验将所有可能发生的基本事件表示出来：当每次取出的产品都不放回时，实验可能出现的结果包括（a，b），（a，c），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b）这6个基本事件，学生可以借此直观地得出有一件次品的基本事件有4个，所以每次取出产品不放回时，有一件次品的概率为P=.当每次取出产品都放回时，实验可能出现的结果包括（a，a），（a，b），（a，c），（b，b），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b），（c，c）共 9 个基本事件，学生可以直观地发现恰有一件次品的事件有4个，所以取出放回时恰有一件产品是次品的概率为P=.

在上述的教学案例中，学生在教师的引导下通过亲自动手操作对于古典概率模型问题有了初步的认知和解决思路，教师也通过这个实验，让学生拥有了一定的学习古典概率模型的基础.开展实验能够使抽象的概念变得直观起来，学生能够通过亲自试验加深对抽象概念的理解.这样的方法能够使课堂气氛变得轻松、和谐起来.

[?]结合实际生活，引导数学建模

数学知识来源于生活，当然最后也要应用于生活. 根据实际教学调查的结果我们可以得出结论：当前在数学的教学建模课堂中学生的理论和实践凸显出分离的状态.在进行数学建模时，审题应该是其建模的关键步骤，但经常存在部分学生由于不了解题干中的理论术语而导致学生的审题出现错误. 基于这个原因，教师应当在教学的过程中联系生活实际，让学生通过生活问题进行数学建模.

例如，有关银行存取款方面的问题一般会牵扯到利率与本金，商品买卖方面的问题一般会牵扯到利润、标价、售价和成本.在数学教学的过程中，教师可以选择在课后作业的设定中，要求学生和家长一块去银行存取款;或者要求学生在日常的购物中，对商品的标价、售价和利润加以注重.

另外，教师也可以尝试将对于数学建模有兴趣的学生组织到一起，为这些学生创造条件并且适宜地鼓励这些学生借助生活经验来完成建模练习. 教师还可以引导这些学生向其他学生展示其数学建模的实际案例，以吸引更多的学生参加到数学建模中去.

[?]借助媒体辅助，深化数学建模

随着科学信息技术的进一步发展，计算机在教师的教学过中也被广泛地应用开来. 数学教师利用多媒体课件对于数学模型进行创建，可以使他们向学生所要传达的数学信息更加丰富与具体，从而激发学生在数学学习方面的热情，将学生的思绪快速引入数学建模的氛围中来，使得数学课堂的教学效率得到大幅度提高.

例如，在教学《空间几何体的结构》时，对于学生来说“空间几何体”是一个比较抽象的概念，因此，教师可以利用多媒体首先给学生呈现金字塔、华表、水立方、伦敦大本钟等他们比较熟悉的建筑物，然后这样引导：“同学们，这一些世界闻名的建筑物共同的特点是能够给人们带来很强的视觉审美感受. 从数学的角度去分析，你觉得主要原因是什么？”在学生回答的基础上追问：“请你们仔细观察这些建筑物，每一个建筑物由哪些基本的几何体构成？”然后根据学生的回答分别在大屏幕上出示棱柱、球体、棱台、棱锥等，并让学生对这些立体图形进行分类，并根据具体的实物引导他们总结多面体的特征及面、棱、顶点的定义，并从面、棱、顶点三个维度总结这些多面体的基本特征，以此构建“空间几何体”的数学模型.

在上述的教学案例中，教师始终围绕着教学的重要目标，在教学过程中将学生对于模型建立的过程进行了重点关注，也借助了电脑对于模型求解进行了快速检验，从而使得数学课堂高效起来.

总而言之，教师在帮助学生完成数学模型的构建时，可以借助问题驱动、实验探究、联系生活、借助媒体等方法进行. 数学建模是数学学习过程中的一种十分重要的思想方法，是解决数学实际问题的有效手段，数学教师在教学的过程中一定要将数学建模思想渗透给学生，同时借助多种教学模式与教学手段，养成和完善学生的数学学习素养.