高中生数学运算核心素养的培养

宋健

[摘  要] 从目前的实际教学情况来看，高中数学运算核心素养的被重视程度逐渐增加，在“切实提高高中生运用数学知识解决实际数学问题”的教学思想指导下，如何通过新的教学技术和理念在现有教学条件下，实现对教学过程的优化，切实达成对高中生数学运算核心素养的有效培养是当前乃至未来一段时间内高中阶段数学科目的教学重点. 文章以一次“函数的性质复习课”作为教学案例，通过学情分析、微课设计思路、微课实施过程详细地说明在高中生数学运算核心素养的培养过程中微课教学模式的应用范例.

[关键词] 高中数学;核心素养;运算素养;函数的性质;微课设计

[?]前言

数学运算是构成高中阶段数学核心素养的重要内容之一，对于学生利用数学知识解决生活中的数学问题意义重大. 高中数学新课程标准中明确强调了要加强在高中数学科目教学中，对高中生核心素养，尤其是数学运算素养的培养.从目前的教学实际情况来看，高中数学运算素养的培养方式有很多，但是总的培养场所仍然是课堂，而新授课、复习课等课程内容也仍然是主要的教育内容[1]. 因此，确保在现有的教学内容和教学环境下，通过应用新的教学理念和教学技术，实现对教学过程的优化，切实达成对高中生数学运算核心素养的有效培养是当前乃至未来一段时间内高中阶段数学科目的教学重点. 本文以一次高三“函数的性质复习课”作为教学案例，通过学情分析、微课设计思路、微课实施过程详细地说明在高中生数学运算核心素养的培养过程中微课教学模式的应用范例，同时通过对整个分析和教学过程的反思实现对整体教学效果的持续化改进和提升.

[?]课前学情分析

1. 内容分析

函数的性质是高考的主线之一，无论是何种函数，必然与函数性质相关联.文章以一次高三“函数的性质复习课”作为教学案例，通过选取几个典型的函数的性质高考真题，对如何在已知题干条件的基础上，巧妙地运用运算技巧，简化运算过程，提高运算准确度做一些探索. 该节教学内容延承函数的相关教学，是对生活中常见函数运算问题在数学中的研究和运用的另一重要体现.

2. 学情分析

该节课程内容进一步应用和引申了此前“函数”的相关性质，对于进一步强化函数的定义和性质，明确导数在研究函数的单调性、最值、图像中的作用，同时也能为后续复合函数的学习发挥重要的思路启发效果[2].

[?]微课设计思路

数学运算核心素养是贯穿学生数学科目学习始终的关键核心素养，也是历来不同数学教学阶段的教学重点和学生掌握的难点[3]，本次教学设计聚焦新课标对高中生数学运算核心素养，通过引入微课教学方式拓展教学内容，建立基于启发与引导式的学生自主学习模式. 同时通过教师的观察、提问提高教师与学生的互动，通过测验和评价提高教师对学生实际掌握所学内容效果的把握[4]. 因此，此次教学设计将依循引出运算对象，归纳运算范畴，运算一般表达，运算移项化简以及结果归纳拓展五个步骤展开.

下面具体解析数学运算的五个步骤，如图1所示：

按照图1所示的教学步骤，结合新课标对高中生数学运算核心素养的培养要求，此次教学设计还应实现“拓展数学运算思维—养成严谨求实数学精神—培养程序化分析习惯”三个目标，如图2所示：

[?]微课教学实施过程

1. 引出函数运算对象

函数是高中数学中的常见考题，作为构成高中数学的重要部分，函数类的知识考查既是考试的重点也是考试的难点. 因此，本文拟定结合一道高考试题中的典型函数题，引出函数运算的概念，明确微课教学的对象.

师：同学们请仔细观察下列试题，然后首先思考能有哪些解答方法？

例题：已知函数f（x）=ex，g（x）=x-m（m∈R）.

求：当m=0时，ef（x-2）与g（x）的大小关系？

生：可以从两个函数的单调性方面入手，比较当m=0时，ef（x-2）与g（x）的大小.

师：同学们的思路很好，那么请同学们自己实际求证一下吧.

生：求解过程如下.

由上题条件可知，ef（x-2）=eex-2，g（x）=x.

讨论：（1）当x≤0时，有ef（x-2）>g（x）;

（2）当x>0时，lnef（x-2）=lneex-2=ex-2，lng（x）=lnx.

令函数h（x）=ex-2-lnx，存在h′（x）=ex-2-，在（0，+∞）单调递增.

令x=1，可得h′（1）<0，令x=2，可得h′（2）>0，

因此函数h′（x）=ex-2-，在（0，+∞）存在唯一实数根x0.

当1

当0

当x>x0时，h′（x）>0，则h（x）=ex-2-lnx单调递增，

所以存在h（x）≥h（x0），代入ex0-2=，可得j（x）=-lnx，x∈（1，2）.

存在j′（x）=--<0，所以j（x）=-lnx在x∈（1，2）上單调递减.

又j（1）=1>0，j（2）=-ln2<0，

所以……

师：很好. 同学们上述解答的思路还是不错的，那么大家有没有想过为什么计算到这里卡住了呢？请大家认真分析一下原因.

2. 归纳函数运算范畴

函数运算是在函数概念基础上对函数相关内容的进一步引申，通过由一次函数等较为简单的函数逐渐过渡到指数函数、对数函数乃至复合函数等较为复杂的函数，有助于学生更好地从数学概念的范畴理解函数的运算，并掌握此类题型的解题方法的归纳和总结.

师：在上述的解答过程中，同学们有没有想到自己为什么解答不下去了呢？

生1：区间的选择有问题么.

生2：两个比较的函数很难转化成同一类函数.

生3：构造函数h（x）的最小值的符号难以确定.

生：……

师：很好. 大家对上述问题的归纳和总结都很到位，所以大家对于函数运算的大概范畴有没有建立較为明确的概念呢. 数学运算的过程实际上就是对事物或者问题展开理性认知的过程，大家如何建立严谨、周密的运算思维是确立运算范畴，并在这一范畴内找到对应的解决方法的关键.那么老师下面会根据同学们所指出的这几种导致上述计算障碍的问题建立对应的解决办法.

3. 运算的一般表达

在完成针对性的化简计算之前首先应该按照自己的思路把根据题干中的内容和隐含条件所能列举的关系式表示出来，也即运算的一般表达式.

师：请同学们分别根据上述三个造成障碍的问题，看看能不能写出对应的关系表达式.

生：表示不出来，这个太难了……

师：那好，请大家跟着老师的思路一起来尝试一下.

（1）区间的选择有问题

在上题的选择中，选定的h（x）=ex-2-lnx的区间为（1，2），同时，h（1）<0，h（2）>0，所以当我们取区间内的值x0时，就无法证明h（x0）>0恒成立，所以解决这一问题的方式就是进一步地选定恰当的区间.

（2）两个比较的函数很难转化成同一类函数

师：通过以前的学习相信大家还记得y=ex与y=lnx互为反函数，同时它们的图像关于直线y=x对称. 由此可知，函数y=ef（x-2与函数y=g（x）图像也存在着分隔线，也即y=x-1，所以可以根据这个思路进一步向下求解.

（3）构造函数h（x）的最小值的符号难以确定

造成这个问题的主要原因是因为存在着对数符号，所以如果能够去除对数符号，那么就可以准确地确定构造函数h（x）的最小值的符号，从而将问题迎刃而解.

4. 运算的移项化简

在得出一般表达式后进一步获取简化后的关系式是对函数问题计算法则的应用精简也是对函数相关学习内容的方法性概括，这有助于学生更好地把握运用各类型函数的定义和性质解决数学问题的实际能力.

师：好，请同学们分别按照老师的上述提示，结合自己现有的计算过程进行进一步化简和运算，看大家能否准确求出最后的结果.

以问题1区间的选择有问题为例进行移项化简.令x=1，可得h′（1）<0，令x=2，可得h′（2）>0，即：h′（x）在（0，+∞）上有唯一实数根x0，且1

由此，可继续计算求解.

其中问题2两个比较的函数很难转化成同一类函数及问题3构造函数的最小值的符号难以确定的求解过程由于篇幅问题不再列出.

5. 结果归纳和拓展

数学教学的本质在于知识的继承、积累和拓展，因此在完成整个过程的教学内容后，教师如何更好地帮助学生承继对前面所学内容的联系和深入理解，实现对目前学习内容的积累和实际应用能力转化，并对后续将要学习内容的拓展链接是数学教学的重要内容.仍以“函数的性质复习课”为例.

师：通过今天的学习，我们主要掌握了上述典型的函数高考题的求解思路以及推导化简的方法，同学们在学习过程中也可以发现在完成一个推导化简的过程中可采用的方法有很多，按照不同的分析逻辑完全可以获得更为丰富、简便的解答方式，因此在后续的复习中，老师想给大家留几个问题，供大家在后续的复习和自主学习探究中进行深入思考.

（1）本次课程我们所探讨的三种解答思路中，同学们感觉哪一种解答思路更为简洁？

（2）在此次的解答思路分析中，我们能够得出哪些对函数解答问题的新的认识？

（3）对于上述新的认识，同学们认为有哪些能够归纳到我们的解题思路当中？

请大家在课后认真思考这些问题，我们在下一节课程的学习过程中再来一起探讨这些问题.

[?]微课教学课后反思

第一，丰富而严谨的数学逻辑思维是提高学生运算核心素养的基础[5]. 处于不同年龄段的学生在逻辑思维的成长方面有不同的发展规律，教师在实际教学中应该重视这一规律，通过教学方式及内容的精心设计达成与这一规律的最大一致. 以上述教学设计为例，作为高三阶段的例题精讲课，学生已经完成了一遍高中数学课程的系统学习，所以在本次教学设计中重点推动学生的自主思维，通过例题精讲和启发引导可以最大限度地激发学生的能动性，从而有效拓展学生数学思维.

第二，系统而层级化的有效提问是提升学生运算解题思路的核心[6]. 在上述的微课教学设计中，采用了大量的启发性提问，不断地引导学生自主思考，一方面提高了学生的参与性，同时也有助于帮助学生加深认知，并逐步养成针对运算问题自主总结、积极归纳运算方法的好习惯.

第三，积极而主动的自主探究是保障学生运算能力提升的关键. 综合分析此次微课教学设计，由于学生在对题型的认知方面存在的障碍度较高，因此教师的分析和主导比重仍然过高，在解题思路的分析和引导中更多的是教师展开的，学生的整体参与度仍然有待于提高. 在后续的教学中应该进一步增加对学生自主学习探究积极性的促进，建立全过程的学生自主探究学习方式，帮助学生掌握更多的面对不同数学问题的解答逻辑和分析技巧，从而切实提升学生的数学运算核心素养.

参考文献：

[1]  张娟. 核心素养理念下高中生数学运算能力的培养心得[J]. 课程教育研究，2018（27）.

[2]  王爱斌. 核心素养理念下高中生数学运算能力培养的思考[J]. 数学教学通讯，2017（30）.

[3]  李杨. 基于“四基”的高一学生数学运算素养的调查研究[D]. 哈尔滨师范大学，2017.

[4]  姚雪皎. 高中生数学运算素养的评价与培养研究[D]. 福建师范大学，2017.

[5]  凌娜. 数据分析素养视角下的试题研究[D]. 福建师范大学，2017.

[6]  高超敏. 基于数学核心素养的高三学生数据处理现状调查研究[D]. 南京师范大学，2017.