匹配学生认知规律 搭建素养发展阶梯

谢姚平

[摘  要] 文章是对《数学归纳法》一课观摩过程和反思进行的整理，简述了课堂实录，并结合课堂教学反推授课教师的基本设计意图，最后还分享了作者的观摩随感.

[关键词] 数学归纳法;教学实录;观摩随感

发展学生的核心素养是当前高中数学教学的重要目标，如何将这一目标体现在课堂教学中呢？这是一个值得数学教师值得广泛关注的问题，近期笔者观摩了一节题为《数学归纳法》的公开课，授课教师精心设计，充分匹配学生的认知规律，在引导学生建构认知和发展能力的同时，将课标中有关素养的发展要求落在了实处，以下是笔者对课堂实录的整理和相关思考.

[?]课堂实录呈现

1. 课堂导入，引入课题

教师创设情境，引导学生建立不完全归纳法和完全归纳法的概念.

问题情境1：大林的爸爸一共有三个儿子，老大的名字叫“一毛”，老二的名字叫“二毛”，老三的名字叫什么？

有的学生脱口而出：老三的名字叫“三毛”. 很快就有学生反驳道：错了，问题的开头就说了是“大林的爸爸一共有三个儿子”，因此第三个孩子就叫“大林”. 在此基础上，教师引导学生展开总结：如果只是针对部分对象进行研究，并得出一般化的结论，这种方法就叫作“不完全归纳法”. 从上述的例子可以发现，根据前两个儿子的名字即推测第三个儿子的名字，这显然是不正确的答案.

问题情境2：现在有一积木袋子，里面一共有五块积木，抽出第一块是蓝色的，抽出第二块也是蓝色的，请问：如何才可以验证积木袋子中积木都是蓝色的呢？

有了刚才的“问题情境1”做铺垫，这时学生都变得慎重了，他们给出答案：只要将袋子彻底打开，将每一块积木都查验过去，就可以确认是什么颜色了. 教师引导学生总结：你们刚才的推理结论是建立在将所有的元素都考查过去，这种归纳方法是“完全归纳法”.

教师引导他们对上述两个问题情境进行总结，并得到结论：不完全归纳法所得到的结论不可靠，而完全归纳法的结论则是可靠的.

教师继续提问：上述两个问题都是与正整数相关的问题，结合两个例子进行分析可以发现，如果要处理一个与此类似的问题，为了让结果更加可靠一点，我们应该采用哪个方法来进行归纳呢？

学生纷纷答道：采用完全归纳法.

问题情境3：现有数列{an}，已知a1=1，an+1=（n=1，2，…），求（1）a2，a3，a4;（2）请猜想该数列的通项公式;（3）请验证你的猜想.

学生围绕问题（1），很快得出结论：a2，a3，a4三项分别是，和;并且猜想本数列的通项公式为an=. 猜想是否正确呢？学生陷入困境，因为从刚才的问题情境中，学生已经明确不完全归纳法和完全归纳法结果的差别，而明显现在的问题牵扯到无穷多项，不可能像刚才那么简单地操作. 学生的思维陷入困境，一种对新知识、新方法的渴求情绪酝酿了起来.

设计意图：上述导入环节，教师从一个脑筋急转弯的故事入手，引入不完全归纳法和完全归纳法的讨论，这样的处理能够有效地激活学生思维，活化对概念的认识. 在相关概念已经明确的前提下，教师再通过问题引入情境3，将学生已经具备的数列知识和即将学习的数学归纳法衔接起来，这是充分站立于学生的最近发展区，引领学生向着新的研究领域出发展开探索.

2. 引导探究，突破难点

围绕刚才的思维困境，教师继续引导，帮助学生构建新的思路，并实现难点突破.

教师引导：刚才的数列显然不能一项项都罗列出来进行讨论，那我们怎样才能寻找到一项可靠的总结方式呢？

教师说罢，稍微停顿了片刻，让学生思考了一会儿，这是一个缓冲过程，让学生为即将展开的思考积蓄力量、酝酿情绪.

问题情境4：教师播放多米诺骨牌的视频，并提问，怎样才可以让多米诺骨牌全部都倒下？

学生讨论并总结：必须满足两个条件，条件一：第一张骨牌倒下;条件二：任意相邻两张牌，前一张牌的倒下都会带着后一张牌倒下.

教师引导学生在多米诺骨牌的问题探究基础上，展开探索：如何证明之前的数列问题呢？

学生开始讨论，并形成认识：①当n=1时，由题意可得a1=1，猜想式成立;②假设当n=k时猜想式也成立，则ak=，那么当n=k+1时，根据条件ak+1=及假设ak=，有ak+1===，因此猜想式在n=k+1时也成立. 由①②可以确定，对于一切正整数n，猜想都是成立的，即上述数列的通项公式为a=.

教师引导学生展开总结：上述方法就是我们今天要研究的数学归纳法，请尝试概括采用数学归纳法的基本步骤.

学生尝试总结：两个基本步骤，第一步，证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立;第二步，假设n=k（k≥n0，k∈N*）時命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立. 只要上述两个步骤完成，即可判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

设计意图：教师以多米诺骨牌的视频为切入口，以此来对学生进行启发和点拨，这样的教学可以让学生对数学归纳法形成更加形象的认识. 须知，对学生来讲，数学学习最大的难点就是问题的抽象性，我们指导学生化抽象为形象，能够最大限度地降低知识和方法的理解难度，这有助于学生建立有关概念，也有助于他们更加高效地掌握相关方法.

3. 随堂练习，巩固认识

教师列举问题，让学生从数学归纳法的角度着手，积极开展应用.

例题1：求证1+3+5+…+（2n-1）=n2.

基本思路：①当n=1时，左边=1，右边=12=1，等式成立;

②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，1+3+5+…+（2k-1）=k2，

那么1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）==（k+1）2，则当n=k+1时也成立.

根据①和②，可知等式对任何n∈N*都成立.

当学生完成例1的分析和处理后，教师要提醒学生运用数学归纳法分析问题时务必注意，n=k+1的有关证明必须利用n=k的归纳假设.

例题2：求证n3+5n（n∈N*）能被6 整除.

基本思路：①当n=1时，13+5×1=6，能被6整除，命题正确;

②假设n=k时命题正确，即k3+5k能被6整除，所以当n=k+1时，（k+1）3+5（k+1）=（k3+3k2+3k+1）+（5k+5）=（k3+5k）+3k（k+1）+6.

因为两个连续的整数的乘积k（k+1）是偶数，所以3k（k+1）能被6整除.

所以（k3+5k）+3k（k+1）+6能被6整除，即当n=k+1时命题也正确.

根据①和②，可知命题对n∈N*都正确.

设计意图：上述两个例题都是数学归纳法最典型的问题，教师要给予学生充足的时间进行思考，并让学生到黑板上板演具体步骤，這样的处理方便对学生进行最精准的纠正和指导，有助于学生对方法的理解和掌握.

[?]观摩随感和反思

关注学生的素养提升，那就要求所有的设计都应该以学生为中心，本课的教学就充分体现到这一点.

首先这一课重视了学生的认知特点和学习困难，在以往的教学中，很多教师忽视学生对方法提出缘由的教育，这无形之中就构成了学生理解上的断层，而在本课教学中教师由多米诺骨牌为情境，为学生搭建了一个相对形象的认知平台，通过类比的想法让学生能够更好地理解数学归纳法的提出和相关操作步骤[1].

其次是有效关注学生的课堂参与度，在教学过程中，无论是基本概念的得出，还是数学归纳法操作步骤的总结，授课教师都安排学生来进行探究，教师很好地充当了启发者和指导者的角色. 甚至是最后的练习题，教师也是让学生思考处理后，由学生代表到前台来展示和交流. 在这样的课堂上，学生的参与度很高，也得到了成长机会.

最后是关注学生的思维发展，数学教学中很关注三个方面的理解，即理解教材、理解学生、理解教学，要实现上述要求，就需要教师极力关注学生的思维特征[2]. 在本课教学中，教师经常性地给予学生讨论和表达，诱导学生将思维过程展示出来，这样的教学有助于学生暴露出思维上的缺陷和不足，也方便教师进行针对性的帮扶和点拨，学生在这样的课堂上能够获得更好的发展.

参考文献：

[1]  马茂年，俞昕. 课堂教学回归“数学化”的讨论和分析——以高中“数学归纳法”的教学为例[J]. 数学教育学报，2013（03）.

[2]  何晓敏，宁连华. 基于数学活动经验的数学化——以数学归纳法的教学设计为例[J]. 高中数学教与学，2011（22）.