高中数学教学的实践思考与理解

张栋梁

[摘  要] 着眼于知识生成、学生认知、解题方法技能、教材以及编者意图进行的教学，能使学生逐渐获得领悟解题的数学机智和灵活、深刻的思维能力.因此，教师应有的放矢地对教材所呈现的思维链进行加密、拓展并厘清次序、设置阶梯、搭建平台，使学生能够在更为丰满的教学设计中获得更多的体验.

[关键词] 知识生成;认知;方法技能;教材

[?]问题的提出

本文是笔者针对某节有遗憾的公开课所做出的思考，此节公开课的主题是向量方法的理解，执教教师在教学中通过引例与练习题将综合法和向量法进行了对比，两个法向量的夹角转化成二面角的平面角的生成方法因为教师的课前预设不足使得很多学生最终选择了死记硬背，很多学生因此对其中的转化规律无法理解，笔者以为可以做如下思考与优化.

很多教师在两个法向量的夹角转化成二面角的平面角的规律中往往会提及“反向”与“同向”这两个关键词，“反向”指的是两个向量方向相反，“同向”指的是两个向量的方向相同. 当二面角的平面角是0°时，两个半平面的法向量方向可以相同并形成0°的夹角;当二面角的平面角是180°时，两个半平面的法向量方向可以相反并形成180°的夹角.不过，二面角的平面角在0°和180°之间时，此时的“反向”或“同向”往往与常规内涵是不一致的，学生较难理解和记忆. 因此，教师在法向量的夹角转化成二面角的平面角的規律的教学中一定要进行优化，将两个法向量的起点移至二面角的“张口”内并引导学生理解，使学生能够在两个平面的法向量均指向对应的半面角的内部或外部时理解二面角的平面角和两个法向量夹角的补角相等，当两个平面的法向量指向不同时理解二面角的平面角和两个法向量的夹角相等，这就是很多教师经常强调的“同进同出互补（图1）”和“一进一出相等（图2）”.

此规律的操作可分为以下三步：①将两个法向量的起点移至空间直角坐标系的原点并判断其空间方向;②在二面角的“张口”内任意找一点P并过P点分别作两个法向量平行的“小”法向量;③判断两个“小”法向量和对应的半平面之间是射出还是射入的关系. 以下面具体问题为例进行说明.

例：如图3，已知△ABC与△DBC所在的平面相互垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求二面角A-BD-C的大小.

分析：过A点作CB的垂线并与其延长线交于点O，连OD，易证明OD，OA，OC两两垂直. 设AB=BC=BD=2，结合条件可得平面ABD的法向量n=（1，，1），平面BDC的法向量m=（0，0，1），cos〈n，m〉==. 将向量n的起点移至坐标原点，向量n即指向平面xOy第一象限的上方. 在二面角A-BD-C的“张口”内任取一点，取在线段AC上，将两个法向量进行平移即可得到更“小”的法向量n1，m1（加细表示其相反向量），由图3可得，“小”法向量n1，m1（加粗）的方向对其半平面来说均为射出，此时二面角A-BD-C等于π-〈n1，m1〉;对n1，m1的相反向量（加细）进行观察可得其方向对于其半平面来说均为射入，此时二面角A-BD-C等于π-〈n1，m1〉;对“小”法向量n1的相反向量（加细）进行观察可知其方向是射入平面ABD，m1（加粗）方向是射出平面BCD，此时二面角A-BD-C等于〈-n1，m1〉. 另外，直接观察所求二面角为钝二面角还是锐二面角对于解题来说是最为简捷的. 不过，值得教师注意的是，并不是所有的二面角都很容易观察可得其为哪一种二面角，此时对其进行考量就必须更加理性了.

[?]高中数学教学的理解

1. 须着眼于知识生成落实教学

数学概念、法则、定理、公理、公式的起源与发展都是人类长期实践所得的精髓，每一个数学知识点的形成、应用与发展都是合情合理且浑然天成的.因此，着眼于知识点生成落实具体教学才能帮助学生更好地理解数学. 不仅如此，教师在设计教学过程时还应对其中的思维过程进行充分的展现与暴露，这有助于学生更好地掌握知识、方法并获得思维品质的发展. 除此以外，教师在具体教学过程中还应及时发现学生的学习难点并调整教学路线，比如本文中所举的具体例题中，教师就可以将两个法向量如何转化成二面角的平面角作为一个专门的课题来引导学生探究，以学习者的身份对学生的探究进行适当的引导，使学生在探究、归纳、论证、体验以及反思等过程中形成对知识细节的把握.

2. 须着眼于学生认知落实教学

学习者在学习中已经了解的内容是教学过程中最有必要把握的环节，这有利于先行组织者对新旧知识关联上的把握与设计，因此，教师在具体教学中应全方位地挖掘学生的潜能并做到全面了解学生. 首先，教师应对学生的认知起点进行准确的把握，由此切入进行的教学设计能帮助学生在原有的认知结构中顺利实现知识的同化与顺应，不仅如此，教师由此做出的教学取舍与调整也更能激发学生的积极思考与潜能发挥. 其次，教师应遵循学生的认知规律落实教学，迎合学生心理需求与思维方式的教学设计能更好地激起学生的情感体验，教学也会因此更具针对性与实效性并更好地促进学生思维的发展.

3. 须着眼于方法技能落实教学

学生因为个人经验的不足往往在很多问题上难以自主获得一题多解的体验，但实际上，一题多解能够更好地将不同内容的横向联系融合起来并促进学生的思维更为广阔，因此，教师在很多问题的解决中一定要引导、鼓励学生进行一题多解并因此获得更深、更广的思维体验. 一般来说，问题与问题之间的差异、问题中不变的规律往往会在一题多变的训练中获得充分的暴露，因此，教师在解题教学中也应进行充分审视与预设并进行具有针对性的引导.多题同解往往需要学生在解题时站在整体的高度进行思考与探索，这对于学生的思维来说是要求最高的，学生必须具备直达问题本质的洞察力才能对数学问题形成直达本质的理解与洞悉. 当然，这所有的形式都必须建立在扎实的基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的基础之上，这对于学生思维的敏捷性、深刻性和批判性来说都是极具意义的.

也有一些学生总能在解题过程中展现出极高的领悟解题的数学机智，这源于其对问题本质的深刻理解以及数学思想方法的准确提炼. 因此，教师在具体的解题教学中不能仅仅停留于浅层次的分析上，触及问题本质的深入分析才能帮助学生更好地产生创造性的思路和方法.