留白，让数学课堂生成精彩

吴凤芹

[摘  要] 课堂留白能够为学生构建一個“思”的平台，它可以激发学生学习的积极性和主动性，还能够拓展学生的思维，培养学生的数学核心素养. 当前，定理法则教学的效果并不理想，文章结合教学实践，从引入、推导、运用三个方面探究了定理法则教学中课堂留白的策略，以期提高教学的质量和效率，促使学生的核心素养得到培养.

[关键词] 高中数学;定理法则;课堂留白

留白源于绘画艺术，它应用于教育中，常被称之为“课堂留白”. 相比较而言，留白的课堂教学完成了“满堂灌”向“我要学”的转变，它为学生创造了一个充分展示自我、张扬个性、自主探索的机会，有助于发挥学生学习的主观能动性，拓展学生的思维[1]. 定理法则在高中数学知识体系中占据着重要的位置，它是推理、论证的主要依据，但是由于受到各种因素的影响，定理法则教学遇到了“瓶颈”，制约了学生思维的拓展与发展，更不利于培养学生的核心素养. 将“留白”引入定理法则教学中，既能够活跃课堂氛围，放飞学生思维，还能够促使学生掌握“思”的技巧，提升数学知识应用技能. 本文中，笔者从引入、推导以及运用三个方面，例说了定理法则教学中课堂留白的策略[2]，具体为：

[?]引入阶段

“好”的引入方式，不仅能够激发学生的求知和探索欲望，还能够提升课堂活动学生的参与度，但引入方式呈现多样性和丰富性，所以作为一线的教育工作者，要准确把握各种引入方式的特征，否则会适得其反.对于定理法则教学来讲，在引入环节采用“留白”的方式，不仅能够吸引学生的“眼球”，还能够激发学生“补白”的欲望，促使学生主动“思”. “两角和与差的余弦公式”作为高中数学知识体系中的一员，必须引起师生的重视.课堂上，笔者并未直接展示“两角和与差的余弦公式”，而是通过探讨、计算cos15°完成引入. 回顾课堂的引入过程，进行了3次“留白”，且“留白”的时间与“思考”的难度有很大关系，具体来说就是问题的难度越大，留白的时间会越长.

一是，提出“cos15°=cos（60°-45°），那么cos15°=cos60°-cos45°成立吗？”这一问题时，并未直接给予答案，而是让学生通过“思”，认识到“cos15°≠cos60°-cos45°”. 这里的“留白”，不仅促使学生回顾课本知识，认识到“cos15°=”，还调动了学生探究的欲望.

二是，提出“构图”计算. 先画∠ABC=15°，（留白），让学生通过“思”，构图如图1.通过计算得出：cos15°=，再次验证cos15°≠cos60°-cos45°.

三是，提出“设向量a=（cos45°，sin45°），b=（cos30°，sin30°），求向量a·b”这一问题. （留白）让学生通过向量数量积的运算，得出cos15°=cos60°cos45°+sin60°sin45°，引导得出两角和与差的余弦公式：cos（α±β）=cosαcosβ?sinαsinβ，引入本章节的学习内容.

概括来讲，“两角和与差的余弦公式”的引入中，教师选用了停顿式留白策略和存疑式留白策略，不仅吸引了学生的目光，激发了学生探索的欲望，拓展了学生的思维，还使学生想象能力、分析能力、归纳能力得到了锻炼和培养，更保证了“引入”的有效性，为高效课堂奠定了基础.

[?]推导阶段

“满堂灌”的教学模式下，学生往往通过死记硬背的方式将定理、公式、法则刻录到大脑中，但运用定理、公式、法则解决实际问题的能力非常差，甚至会使学生产生疑惑、焦躁等不良情绪，进而产生放弃学习数学的念头[3]. 归根究底，就是教师单一注重“讲”而忽视了学生的“悟”，导致学生“知其然而不知其所以然”，所以在推理定理法则时，要注重选用恰当的“留白”策略，如停顿式留白策略、隐性留白等，给予学生时间与空间进行思考、证明，进而加深学生的认知与理解，培养学生灵活运用知识的能力[4]. 等比数列前n项和公式是等比数列知识的重难点，其更是当前高考考查的热门知识点. 为了让学生明确“等比数列前n项和公式”的推导过程，强化学生的应用能力，笔者在课堂上采用了“留白”的方式进行授课，取得了良好的效果.

首先，教师通过多次提问，引导学生采用“错位相减法”推导得出等比数列的求和公式：Sn=. 此时，采用“停顿留白”策略，让学生回顾Sn=推导的过程，深刻体会“错位相减法”的作用;

其次，提出“公式Sn=是否有变形形式和其他推导方法”这一问题，采用“隐性留白”策略，激活学生的思维，使学生积极主动地参与到“问题探究”的活动中，同时还能够吸引学生的注意力，使学生有目的、有针对性地进行思考，培养学生的创新思维.

最后，利用方程思想，构建方程推导出Sn=，而在教师归纳总结时，采用了存疑式留白策略，在学生的大脑中留下“疑惑的种子”，为学生课后深入思考指明了方向，将分层教学落到实处，避免了“优秀生吃不饱，学困生吃不下”的现象.

课堂上，教师进行了多次留白，既保证了学生始终带有浓厚的兴趣，确保学生的“目光”始终投放于学习内容上，还加深了学生对于“等比数列求和公式”的认知，更实现了“知其然并知其所以然”，掌握了知识的推导过程，为实际问题的运用奠定了良好的基础.

[?]运用阶段

数学知识来源于生活又应用于生活，而新课改背景下，高中数学的教学目标已经不再是单一传授理论知识，而是要注重培养学生运用知识解决问题的能力，培养学生的核心素养. 可见，定理法则的教学目标就是运用定理法则解决问题，所以在日常的课堂上，教师要注重“留白”策略的运用，使学生自主思考、切身体会，领悟到定理法则运用的技巧，从而轻松、准确、快速解决问题.反之，如若一味地生搬硬套，机械运用，很容易掉入题目设置的陷阱中，从而影响学生学好数学的自信心. 习题课是高中数学的基本组成部分，它不仅能够检查学生的学习情况，还能够加深学生对于知识的理解，促使学生完成知识内化，进而提高学生运用知识的能力和技能. 在正弦、余弦定理的习题课上，笔者采用了课堂留白，加深了学生对定理的理解，更能够培养学生灵活运用定理的能力.

【习题1】 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=1，b=，求c的取值范围.

首先，题目展示完毕后，笔者并未直接告知学生解题需要运用余弦定理，而是采用了“停顿留白”的策略，给予学生思考、分析的时间与空间.读题完毕后，部分学生将△ABC直接特殊化，视为直角三角形，通过作图，得到c的取值范围：

其次，让学生思考是否可以不作图得到结论，通过提问后留白. 学生通过分析、思考发现，△ABC为锐角三角形，那么△ABC的三个角皆为锐角，而锐角的余弦值为正值，结合余弦定理得到：cosC=>0，cosB=>0. 通过化简、计算得到：

最后，归纳总结时，采用“存疑式留白”策略，让学生深入思考锐角三角形与余弦定理间的联系，这不仅能够激发学生“补白”的欲望，还能够锻炼提高学生的探究、归纳能力.

运用课堂留白的策略，不仅能够给予学生展现自我的平台，还能够给予学生经历运用余弦定理解决问题的思考过程，加深学生对于余弦定理的理解，更能够促使学生掌握灵活运用余弦定理的技巧.

定理法则教学中的课堂留白，既能够活跃课堂的氛围，调动学生的“补白”欲望，还能够加深学生对定理、公式、法则的理解，培养学生灵活运用定理、公式、法则解决问题的能力，促使学生的核心素养得到培养. 但作为一线的教育工作者，要抓住每种留白方式的特征，科学合理地选择运用，让数学课堂生成精彩，取得理想的教学效果.

参考文献：

[1]  齐人敬. 数学课堂教学“留白”策略的思考及实践[J]. 科学大众（科学教育），2015（6）.

[2]  马茂年，李芳. 基于现代教学理念下课堂教学“留白”艺术的观察研究——以高中数学《随机事件的概率》和《割圆术》两堂课为例[J]. 数学教育学报，2015（2）.

[3]  唐勇. 基于高中数学“课堂留白”的教学实践与探索[J]. 高中数理化，2015（6）.

[4]  陈莉华，刘文君. 高中数学课堂教学中“留白”的设计[J]. 数学教学通讯，2014（18）.