谈高中数学中恒成立问题的解题方法和技巧

杨奕华

摘 要：近些年来，随着教育改革的缓步推进，在高中数学教育体系中，对于恒成立问题的教学与考核比重逐渐上升，在高中数学教学中恒成立问题的的分析与解决成为了其中重要的一环。在最近几年的高考数学试卷中，我们也经常发现恒成立问题在其中占据了较大的比重。因此，不论从学生的数学学习根基还是高考考核的角度出发，教师都应该加大对于恒成立问题的重视，加大恒成立问题解题方法与技巧的教学比重。在本文中，笔者就恒成立问题的相关解题技巧谈一谈浅见。

关键词：高中数学;恒成立问题;解题策略

引言：恒成立问题一直都是高中教学中的一个难点问题，许多教师经常面临教难了学生听不懂，教简单了对于学生的解题水平没有帮助的问题。不仅如此，在近年的高考試题中，屡次出现大分值的恒成立题目，学生遇到此类问题一下子就没有了头绪，往往只能选择放弃。因此，教师如何科学有效的进行恒成立问题教学成为了高中数学教学中的一项难题。

一、何为恒成立问题

在高中教育阶段中出现的一系列恒成立问题往往所涉及的知识非常广，对于学生来讲，如果不能具有较强的知识整合能力的话，面对这类问题就会面领着无处下手的困境。在此类问题当中往往会引入一定的参数，结合函数数列的集合进行综合出题。这些题目中普遍的特点就是思维逻辑要求较高，需要学生有较为灵活地思考能力。目前，恒成立问题的题目设计大概分为两种类型。一种类型即给定某不等式恒成立，求取相关参数的取值范围或解决相关问题。其二，即证明不等式为恒成立不等式。在本文中，笔者就这两种主要问题谈一谈具体的解题方法与技巧，试图找出什么样的解题思路更加能够便于学生理解与接受。

二、试析解题方法与技巧

（1）构造函数法

在高中阶段的学习过程中，学生较为掌握的完全平方公式一般认为是解决恒成立问题的一项有效途径。对于学生来讲，面对一道恒成立问题首先需要思考的是是否能够将题目通过构造函数转化为二次函数的题目。学生面对二次函数的题目就远比恒成立问题要来的趁手许多，大可运用画图公式求导等方式求出参数的取值范围，这样一来，一道恒成立问题就很轻松的转变为学生熟知的题目类型，对于恒成立问题就没有那么多的惧怕感了。因此，教师在日常教学的过程中，应该积极引导学生分析恒成立问题是否可以导向构造函数法，平时多训练才能在高考中更加的得心应手。例如，来看这样的一道问题，已知当任意m∈[-3，3]时，不等式3x-2>m（x2-1）恒成立求不等式中x的取值范围。对于这样的一道题目，就是典型的构造函数法的适用类型。将等式左侧的内容移至右侧，就将整个式子转化成了二次函数的形式，需注意的是，在这样的转化中，我们研究的是将m作为参数变量，而非学生以往认同的x作为变量，如果学生一直纠结于x作为变量就会将问题复杂化。就例中的问题来讲，这是一个属于f（m）的式子，是在变量取值范围中求负值区间的问题[1]。

（2）变量分离法

并不是所有的问题应用构造分离法都简便，在面对一些含参数的不等式求解问题时，可以对该不等式中的相应变量与其他参数剥离，转化为其中一边的函数形式，最后进行求取最值或是取值范围的解决思路。例如，f（x）=lg（1+2x+3x+…+n-1x+nxa）/n，面对这样的问题，显然运用第一种方法已经很难解决，这个时候就要思考是否能够将其中的核心变量提取出来，在本题中，我们考虑的就是提取出a放在等式左边，其余在等式左边。这么处理的好处就在于我们避免了较为复杂的lg混合函数的计算，这样的计算难度对于高中学生来说是具备一定的困难性的，而我们提取变量之后的问题就转变成只含分数与指数函数的问题，这样就便于解题了。值得注意的是，在这个问题中，我们是将原本复杂的参数求解的问题主动转化为了恒成立问题，运用恒成立的思维模式进行处理。这就带给学生了一个启示，恒成立问题绝对不仅仅是用来难倒学生的单程数学题目，恒成立的思考方式对于解决其他问题也有着很大的帮助，因此学好恒成立的思维模式至关重要[2]。

（3）数形结合的思想

对于高中学生来讲，数形结合的思想绝对不再是一个陌生的概念，在很多的数学问题中都往往会使用到数形结合，在恒成立问题当中自然也是如此。在一些恒成立不等式中，其中包含的函数较为简单，属于学生掌握的范畴，就大可先将图形化出，再根据图形进行相关问题的求解。例如，若x2-logax<0，x∈（-2，2）恒成立，求a的取值范围。在这样的题型中，可以将其看作两个函数取值高低的问题，其中x2的函数图像学生熟练掌握，logax的图像学生同样也并不陌生，因此只要将两类函数的图形画出来，利用数形结合辅助求解就能较为容易的得出答案了。值得注意的是，在运用数形结合思想的过程中，一定要注意画图的精确性，如果在一开始画图的过程中就出现了问题，导致图形不够精确，一些细节的交汇点无法显现，那么后续的计算就都属于无用功，不可能得出正确的结论了。

结束语

总之，现在的高考考查内容越来越多元化，也越来越注重学生的综合能力，这就预示着恒成立问题将在高考中持续占据较大的比重，对于这类问题，在一道大题中可以就学生的多个知识点以及逻辑思维能力进行考察，是近些年来必出的题型。对于学生来讲，如果能够熟练掌握恒成立问题的的解题思想，面对恒成立问题不会感到焦躁，甚至能够将恒成立的思想运用到其他问题当中去，那么学生的数学成绩以及数学能力都将得到巨大的提升。因此对于教师来说，如何尽可能搞笑的传授高中数学恒成立问题的解题技巧就成为了最为重要的教学任务，在本文中，笔者简要的罗列了几项恒成立问题的基础解决思路，以及对学生的指导方式，希望能够起到一些作用。

参考文献

[1]郑桂芬.高中数学变形技巧在函数恒成立问题中的应用[J].中学生数理化（教与学），2017（6）.

[2]李华清.关于高中数学恒成立的解题方法和思路的探索[J].考试周刊，2017（19）.