核心素养背景下数学抽象教学的新思考

孙艳艳

[摘  要] 高中数学的内容与生活有着密切的联系，高中学生学习数学的过程，必然存在一个从生活到数学的过程，这样的一个过程就是数学抽象的过程.站在教学的角度，认识数学抽象的价值与意义，寻找数学抽象的有效途径，是培养学生数学抽象能力的关键之举. 数学抽象与一般抽象不同之处在于，其是以数和形的视角去观察事物的，其抽象的依据也是数与形. 在核心素养的背景下，去培养学生的数学抽象能力，离不开以下几个环节：一是创设数学学习情境，给学生的数学抽象提供契机;二是体验数学抽象过程，让学生形成数学抽象能力;三是回顾数学抽象过程，将数学抽象能力进一步上升为数学抽象素养.

[关键词] 高中数学;核心素养;数学抽象

抽象是高中数学的本质特征，当用“数”与“形”概括数学学科的特质时，就已经意味着数学具有高度的抽象性，但同时应当注意到的是，高中数学的内容与生活又有着密切的联系，高中学生学习数学的过程，必然存在一个从生活到数学的过程，这样的一个过程就是数学抽象的过程. 很多时候，数学学科的魅力也就存在于这样的一个数学抽象的过程当中. 正是注意到数学学科的这一特质，有人才高度概括了数学特征，认为数学抽象体现了人类的活动. 站在教学的角度，认识数学抽象的价值与意义，寻找数学抽象的有效途径，是培养学生数学抽象能力的关键之举. 而在核心素养的背景下，笔者注意到高中数学学科核心素养中，数学抽象是一个重要的因素，而且位列六个要素之首，由此可见数学抽象的基础性作用.

在核心素养的背景之下，思考高中数学中与数学抽象相关的教学，一个很重要的平台就在于，教师要寻找适当的载体，让学生经历数学抽象的过程，在这个过程中形成认知与情感两个方面的收获，从而促进自身对数学抽象的理解——这个理解可以是隐性的，只要能够促进学生有效地进行数学抽象活动就行. 从核心素养培育的角度来看，这其实也是一种关键能力，一种将生活中相关的素材进行抽象，只留下与问题解决相关的要素，并且能够用数学语言来进行描述的能力.

■传统教学中数学抽象的基本意义

在核心素养背景下思考数学抽象，不能完全脱离于已有的教学传统. 事实上作为数学教学研究的一个具有持续生命力的热点，数学抽象历来受到数学教师的重视. 因此在核心素养的背景下理解数学抽象，是不能脱离传统教学背景中数学抽象基本意义的理解的.

数学抽象是抽象的下位概念.抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质特征的思维过程. 数学抽象是一种特殊的抽象，其特殊性表现在数学抽象的对象是“空间形式和数量关系”，现实世界中的“空间形式和数量关系”与思维想象中的“空间形式和数量关系”都是数学研究的范畴，因此数学抽象既可以是现实世界中的，也可以是数学思维世界中的. 由此可以看见，数学抽象与一般抽象不同之处在于，其是以数和形的视角去观察事物的，其抽象的依据也是数与形. 这是一个非常奇妙的过程，在数学人的眼里，生活中纷繁复杂的事物，被抽象为简洁的数与形后，就是一种非常美的结果.

以圆锥曲线为例，根据一般教材的逻辑，圆锥曲线被认为是一个平面通过不同的方式去截圆锥面的结果，这当然可以演绎出数学的抽象美. 而如果在实际教学中，能够结合实际的事物，让学生认识到在生活中圆锥曲线的存在，然后再引导学生进行数学抽象，那学生对圆锥曲线的理解就可以建立在形象的生活事物基础之上，从学习心理特点的角度来看，这样的教学设计更符合学生的学习需要，更利于学生的记忆与理解.

所以在高中数学教学中，强调数学抽象的意义，是有利于学生有效地掌握数学知识进而形成用数学知识去解决问题能力的.

■核心素养背景下的数学抽象理解

如果说传统数学教学中对核心素养的理解，还带有一定的功利指向，那核心素养背景下的数学抽象，就是真正為了培养学生的素养，其理解是指向学生的社会发展与终身发展的，是学生所需要的关键能力的组成部分. 从学生思维加工的角度来看，数学抽象很大程度上就是培养学生的符号意识，这里所说的符号包括数与形以及它们之间的关系. 当学生能够熟练地运用符号去表征数学规律时，就可以认为学生已经具有了较强的数学抽象能力. 进一步研究表明，有效的数学抽象活动的基本步骤是：分离属性与建构模型—概括与普适化—定义与符号化—系统化，数学抽象必须借助“数学直观”. 这种抽象活动的认知机制给数学教学的启示是：设计有针对性的抽象活动步骤，全面而有侧重点地开展各种抽象活动，引导学生进行及时的反思和总结.

基于这样的理解，笔者以为在核心素养的背景下，去培养学生的数学抽象能力，离不开以下几个环节：

一是创设数学学习情境，给学生的数学抽象提供契机

对于高中学生的数学学习而言，情境的作用不言而喻. 在学习“函数的简单性质”这一内容时，首先要学的就是函数的单调性. 从字面意义上来看，“单调性”不足以让学生立即想到函数的某种性质，因此就需要教师提供形象的生活素材，让学生通过有效的思维加工，去理解函数的单调性. 常见的鲜活的素材有某个地方的气温随着时间的变化图像等. 通过这样的素材所创设出来的情境，关键在于让学生认识到在不同的时间段（定义域）内，函数的变化趋势是不一样的，而要描述这种变化特征，就需要赋予函数一定的概念表达，这就是函数的单调性.

二是体验数学抽象过程，让学生形成数学抽象能力

教学经验表明，当给出学生一个相对复杂的气温随着时间的变化图像时，如果提出恰当的问题如“气温的变化与时间之间是一个什么样的关系”，那绝大多数学生很快就能发现，这种关系并不是一种单一的关系，其需要分段讨论，而这个分段的过程，实际上也就是将整个定义域进行划分的过程. 这样的一个过程对于绝大多数学生而言，并不是一件困难的事情，主要的困难在于用数学语言去描述自己的发现，也就是“怎样用数学语言去刻画不同的时间段内‘气温随时间的变化而变化的特征”.这是一个在学生体验的基础上，运用数学语言去描述发现的过程，本质上就是数学抽象——将形象的事例抽象为数学语言. 经验表明在这一教学环节，教师的主要任务在于鼓励学生用自己的语言去描述发现，然后再将学生的语言转化为数学语言. 只要有效地实现了这一转换，那数学抽象的过程就是成功的.

三是回顾数学抽象过程，将数学抽象能力进一步上升为数学抽象素养

在上述环节中，学生可以有效地经历数学抽象的过程，但是需要注意的是，体验带给学生的往往是一种理性的认识，学生很难显现的，感觉到在这样的一个过程中，自己已经经历了一个数学抽象过程，而如果长此以往，并不利于学生形成数学抽象意识. 所以很大程度上这里要设计一个让学生进行回顾与反思的环节，以让学生认识到数学抽象的价值，认识到数学抽象的基本步骤.这是抽象能力有效上升为数学抽象素养的关键环节.

就笔者实践过的若干案例而言，通过类似于以上的教学环节，去培养学生的数学抽象素养，是行之有效的.

■传统现代结合驱动核心素养落地

在上面两点当中，笔者阐述了传统视角下以及现代核心素养视角下数学抽象的理解与价值. 从核心素养落地的角度来看，以数学抽象的培养为契机，推动整个数学学科核心素养的落地是可行的. 而要做到这一点，就必须在继承传统的技术上，在核心素养的视角之下，对数学抽象进行理解与实践上的创新.

从经验的角度来看，传统视角下的数学抽象理解已经相对比较成熟，而考虑到核心素养已经成为当前数学教学的新背景，那数学抽象很自然地就是数学教学的永恒主题. 在核心素养背景下思考数学抽象，有着重要的历史意义与现实意义. 其具体可从理解核心素养背景下的数学抽象概念、发掘核心素养背景下数学抽象的内涵、在数学抽象的三个阶段中培养学生的数学抽象能力等角度来进行.

其实从上面“函数的简单性质”这个教学案例可以发现，在核心素养的背景下去实施数学抽象的教学，本质上就是引导学生走入所创设的教学情境，让学生去对教学情境中的素材进行加工，去对教师提出的问题进行深入理解，这样学生就可以经历一个丰富的数学抽象过程，数学抽象素养在这样的过程中就可以有效落地.

总体而言，数学抽象作为高中数学教学中重视、核心素养的背景下亦重视的对象，其在高中数学教学中必须受到高度重视，数学教师应当以数学抽象为抓手，去促进数学学科核心素养的理解与落地. 这对于当前核心素养处于初步的探索阶段来说，具有现实意义. 可以肯定地讲，如果能够在数学抽象素养落地的教学上取得突破，那整个数学学科核心素养的落地就是有保证的，其可以有效打开核心素养培育的大门.