例谈三轮复习深度挖掘教材的基本策略——以“函数的基本性质”复习课为例

云南

备考阶段，尤其是最后的冲刺阶段，跳出题海回归课本是高中数学三轮复习备考的主旋律.如何回归，应该从教材里挖掘些什么，怎么挖掘？这是广大一线备考教师和学生应该重点思考的问题，笔者近期开展了以《函数的基本性质》为题的一堂三轮复习课，就课例开展的一些做法和收获谈三轮复习深度挖掘教材的基本策略.

1.有目的的整合教材例题和习题

三轮复习开始的时候，对高中数学基础知识和基本技能都已经有过系统的复习回顾，学生也已经做过大量的练习题和模拟测试，学生对基础知识和基本技能的掌握已经达到一个相对稳定的水平，对具体某个知识点的考题呈现方式也已经有了一定程度上的经验积累，初步了解了具体某个知识点的考查方式；此时就需要引导学生将复习的重心转移到教材上，认真阅读教材，对教材的例题和习题进行分类整合，可以将考查单一知识点和辨别属性的练习题归为第一类，具有探究意味的例题和练习题归为第二类，基于学生已有知识经验在学生的最近发展区里重点研究第二类问题.

2.精选典型习题作为变式题源

每年高考之后总有很多教师就高考题做一些题源分析，所发表的文章大多都阐述一个相近的观点就是高考题有很大一部分是教材例题或习题的改编题，倡导高考的复习应该回归教材，用好教材的例题和习题.要对教材进行深挖，就要在对教材例题和习题进行分类整合的基础之上，就第二类问题进行比较研究，选取典型的、联系性较强的一个或者几个问题通过引导学生开展合作探究进行适当改编，旨在挖掘数学问题的本质属性并总结问题呈现的基本方式，要学会脱去数学问题的马甲看本质，还要能够给数学知识换上新的马甲实现合理变式.

3.认真研读课程标准确保方向不偏

课程标准是教学和考试的纲要，认真研读才能保证方向明确，做到不偏不倚，这是提高复习备考效率的关键，它决定了开展变式研究的方向和变式的度，有利于我们把握应该从何处开展变式到哪里结束，避免为变而变，防止刚从题海战术中出来又换种途径再次深陷题海战术的悲剧上演.

4.通过合作探究充分发挥学生的创造性

学生是学习的主体，更何况该阶段的学生已经具备自主开展变式的能力，而且面临时间紧任务重的双重压力，向课堂要质量就必须落到实处，所以教师在给出变式题源之后首先应该引导学生独立解决题源，接着引导学生开展合作探究，发挥集体智慧的力量，共同投身于对题源的研究和深化变式.这样的课堂是具有生机与活力的，在确保学生动手实践的同时重在体现思维的活动，教师紧盯课堂，适时评价总结，既发挥了集体力量也提升了学生的创造性和创新意识.

5.突出多题一解，实现知识与能力的双重提升

基于题源进行一题多解的尝试在于提升学生综合运用所学知识从不同角度分析并解决同一个问题的能力，开展变式教学的目的在于将问题进行适当拓展，从多个知识角度赋予同一个数学问题的不同呈现方式，丰富学生的视野，拉近与高考命题的距离，感悟和揣摩高考命题的思想和过程.

以下是笔者近期的一堂复习课教学简录.

问题1(人教A版高中数学必修一39页B组题第3题)已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

设计意图：这是课本习题中极具探究性的一个问题，通过解决这个问题可以引导学生发现并总结出处理一类数学问题的基本思想和方法，这有助于学生积累经验；问题1可以用定义法证明，难度不大，证明过程略.

变式1(逆向变式)函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，(-∞，0)上单调递增，则函数f(x)是偶函数么？请举例说明.

设计意图：设计逆向变式的目的在于发展学生的辩证思维，同时也是为了深化学生对函数单调性和奇偶性的理解；要求学生举例说明的目的在于培养学生用身边常见的具有代表性的例子去验证一些命题的真假，学会使用一些具体直观的函数图象解释抽象函数的一些局部性质.

变式2(变条件)已知函数f(x)是奇函数，而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

变式3(变条件)已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，+∞)上是增函数，判断f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

变式4(变条件)已知函数f(x)是奇函数，而且在(0，+∞)上是增函数，判断f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

设计意图：变式2，3，4三个问题就是对原问题的补充和加强，希望通过对这几个问题的证明和解决引导学生发现问题的本质及一般规律.

变式5(变情景)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(3)

设计意图：有了对奇函数性质的进一步认识，可以考虑设计一些能用奇偶性解决的数学问题，旨在深化学生对函数奇偶性的理解.

变式6(一般化)证明：偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间上单调性相同.

设计意图：以命题的形式给出函数的基本性质，尝试引导学生给予证明，其实就是对学生前边开展数学探究活动的总结和一般化，目的在于通过命题的证明加深学生的理解，也可以作为奇偶函数的一个基本性质识记并应用.

变式7(一般化)(1)已知奇函数f(x)在[a，b]上是减函数，试问：它在[-b，-a]上是增函数还是减函数？

(2)已知偶函数g(x)在[a，b]上是增函数，试问：它在[-b，-a]上是增函数还是减函数？

设计意图：该变式就是对变式6的一般化描述和解释，也是为了加深学生对函数对称区间的理解.

至此，对奇偶函数对称区间单调性的探究已经有了阶段性的成果，接下来可以引导学生将刚刚获得的知识经验应用于数学问题的解决之中，以分段函数为背景不仅可以加深学生对分段函数本质的理解和把握，也可以对分段函数的图象性质进行更加深入的研究.

问题2(人教A版高中数学必修一39页习题1.3A组题第6题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x).画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式.

设计意图：本题难度不大，但是具有较强的数学抽象性，重在用好奇函数的性质求解函数的解析式.

变式1(改变条件)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x).画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式.

变式2(改变条件和结论)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x-1)，求出函数的解析式.

设计意图：变式1和变式2都是为了强化利用奇偶性求解分段函数解析式的基本方法.

设计意图：在发展学生的逆向思维的过程中引导学生判断函数奇偶性的另一种直观有效的方法就是图象法，根据图象的对称性判断函数奇偶性.

到这里，可以适当发展学生的合作探究能力，引导学生进行变式创作，并将变式结果及变式的目的和全班同学进行交流和展示，充分发挥学生的积极性和主动性，培养学生的创新意识和创造能力.如下的变式5和变式6就是学生自己设计的变式题目.

变式5(改变表现形式)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x(1+x).画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式.

变式6(改变表现形式)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x(1+x).画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式.

变式7(拓展)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x-1)，若f(x)-a=0只有一个根，求a的取值范围.

设计意图：函数与方程的转化是数学的重要思想之一，有了函数解析式就可以作出函数简图，有了简图就可以观察直线与函数的交点问题，这其实也就是函数与方程的并存关系.

变式8(拓展)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x-1)，若xf(x)-ax=0有且只有一个根，求a的取值范围.

变式9(拓展)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x-1)，若xf(x)-ax=0有两个实数根，求a的取值范围.

变式10(拓展)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x-1)，若xf(x)-ax2=0有两个实数根，求a的取值范围.

设计意图：受变式6和变式7的启发，可以对函数适当加深难度，将数学问题的本质进一步呈现出来，充分诠释变化中不变的元素.

设计意图：会求分段函数的函数值是数学学习的重要一环，具体自变量对应的函数值学生很容易求出，但是对于含参数自变量的函数值的求法，老师有必要引导学生做一个探究，这里往往涉及分类讨论的数学思想和恒成立问题的基本处理策略.