依纲托本 深研典例——浅谈2019年浙江省高考数学复习策略

浙江

《普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》(以下简称《考试说明》)制定有比《普通高等学校招生全国统一考试大纲》(以下简称《考试大纲》)更为具体的考试内容，是高考命题的准绳，也是我们复习备考的依据，关系到当年数学高考“考什么”“怎么考”“有多难”等重要问题.

一、说明解读：稳字当头，保持特色

2019年浙江省高考数学《考试说明》的“考试性质与对象”“考核要求”“考核内容及要求”“考试形式及试卷结构”以及“题型示例”与2018年相比较，字词上没有任何调整变化，这预示着浙江省高考数学试题将继续保持稳定，突出基础性、多层次，重视通性通法，淡化特殊技巧，重思维、重本质，强调问题性，凸显数学素养等浙派特色，以适应社会发展对多样化高素质人才的需要.

二、考点分析：继承传统，预测变化

由于《考试说明》中“知识要求”的三个层次(了解、理解、掌握)、“能力要求”(逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力、综合应用能力)和“考查内容及要求”都一字未动，这启示2019年浙江省高考数学卷仍会坚持减缓坡度，增加层次，考点不变，多题把关，重点考查三角函数、立体几何、数列、解析几何、函数与导数等主干知识.三角函数题，不排除三角函数的性质与解三角形交汇命题，命题者以三角函数的恒等变形与性质为出发点，融合求解三角形的某元素或三角形的面积的最值；数列题基本会以等差与等比数列交叉命题为主，但可能融入构造新的数列的通项与前n项和的求解及不等式证明；立体几何题仍以棱锥或棱柱为载体，考查平行、垂直以及夹角或体积的计算；解析几何题以圆锥曲线为背景求解，以图形中某些量的范围和最值的求解为主要目标，考查解析几何的基本思想方法和数学运算素养；函数与导数题以基本概念、含参不等式或特殊不等式为目标，考查数学抽象、逻辑推理等核心素养.

同时在客观题中会进一步贯彻“文科的韵味，理科的深度”的命题特色，知识上覆盖集合、复数、三视图、随机变量的期望与方差、空间角、二项式定理、线性规划、向量等内容，并且在考查基础知识、基本技能掌握程度的同时，兼顾试题的基础性、综合性和应用性，低档题会送分到位，注重对数学思想方法、数学本质的理解水平的考查，高档题则思维难度较大，展现数学的科学价值和人文价值.由于试题需要展现“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”的层次与关系，解答题可能存在两个“微调”：顺序的调整，设问方式的调整.

2018届部分考生过度按2017年浙江卷数列与不等式压轴进行模拟，而2018年试题降低了数列题的难度，将函数与导数设计为压轴题，按理说全卷难度下降，但很多学生在心理上却有强烈的不适应，失分严重.

通常考查基本不等式的应用时要求求出最值，此题明显体现出设问方式迂回为作答取最值时的取等条件.

解析1设点A(x1,y1),B(x2,y2).显然，当直线AB的斜率为0时，P为弦AB的中点，故可设直线AB的方程为x=t(y-1)，代入椭圆方程得(t2+4)x2+8tx+4t2(1-m)=0，

又t1=-2t2，则由基本不等式，得点B横坐标的绝对值

所以当m=5时，点B横坐标的绝对值最大为2.

解析1应用直线与圆锥曲线的位置关系进行硬解——联立方程，应用韦达定理建立函数模型求解，但有“小题大做”的不适感；解析2注意到问题研究相似椭圆(离心率相等的椭圆)背景下的线段比例的问题，因而利用直线的参数方程表示对应线段的长度关系；而解析3和解析4则灵活运用向量的坐标表示，利用点在曲线上消元直指目标，特别是解析4，从整体上发现动点的轨迹，显得高明简洁.这正是多向思维给我们带来的益处——直接硬解虽够劲，不惧迂回有智慧，巧引点差有深度，整体透视显功底.

三、备考建议：倡导回归，多些研究

1.回归课本,重视基础知识复习

回归课本是老生常谈的话题，但教材是我们学习的最主要资源，是数学知识内容与能力素养的最重要载体.回归课本，重读教材，对《考试说明》要求的概念、公式和方法进行去粗取精的提炼加工，使数学知识网络化、系统化；回归课本，加强对数学核心概念的整体理解，可以促发自己对知识与能力的再生性生长，由表及里地纵横联系，引发不同的感觉、迥异的理解和更广的视野，便于记忆提取和应用.回归课本也要能“出乎其外”，归纳整合章节知识，形成专题知识或专题材料，切忌只见树木，不见森林，头脑中存在的只是课本知识的“原生态”.如角的复习，可这样归纳：共面直线所成的角→异面直线所成的角→直线和平面所成的角→二面角，从而弄清“角”的形成与发展，使概念更加准确清晰.又如数列这一章，既要掌握基本数列(等差、等比数列)的通项公式、求和公式，也要理解其定义与性质，还要总结其求通项、求和方法中重点体现的构造转化思想.

浙江省高考数学一向注重考查数学基本概念、基础知识，绝大部分试题面向全体考生，《考试说明》强调的考点都在教材内，表明课本是试题“万变之宗”.2018年浙江卷很多问题设计取材于课本，第1题考查集合的基本运算，第2题考查双曲线的简单几何性质，第4题考查复数的运算与共轭复数的定义，第5题考查函数的奇偶性及函数的零点，第6题考查空间中直线与直线以及直线与平面的位置关系的性质与判定，这些试题需要考生有针对性地调动基础知识进行分析；试题的第12～14，18题等由课本中的例、习题延伸改造而来，充分体现了“回归课本”必要性.

2.注重研究，积累基本活动经验

高考数学试题“源于课本，高于课本”，一直注重在继承传统的同时不断进行创新，每年都会出现一些令人耳目一新的试题，这类题有较大的自由度与思维空间，体现自主学习与主动探究精神.作为高三学生，对高中数学知识的研究会比高一高二时更灵活、思考更深入、探究更全面，因此“回归课本”，学会从课本中深入挖掘知识，揭示问题的本质，学会从更高的层次研究教材，对知识点进行思维深加工，创造性地解决问题，则会深切地认识到课本是个取之不尽，用之不竭的“库”，难题偏题“无尽藏也”，从而在考场上“以不变应万变”，应对自如.

例3(2018·浙江卷·8)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则

( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

答案：D.

此题比较空间角大小的通法是回到定义，作出角θ1,θ2,θ3，再利用解三角形的知识解题，如图所示；或建立空间直角坐标系，以向量为工具求解.如果我们复习过程中多些研究的眼光，可以深入地揭示空间角的本质规律，“面面角”是“线面角”中的最大角，“线面角”是“线线角”中的最小角，则可一望而解.

一些创新题隐藏其背景，给我们一个思维充分自由驰骋的空间来探究其中的数量关系，在思维上具有一定的开放度，在探究结论上又具有一定的收敛性.

例4(2018·浙江卷·10)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，则

( )

A.a1a3，a2

C.a1a4D.a1>a3，a2>a4

答案：B.

3.精致解题，加强基本技能训练

布鲁纳指出：“问题常常作为一种标准，决定着学生素质的现状以及他们理解的程度……从一定意义上说，问题是通向理解之途.”为此我们常简单地认为数学是“做”出来的，因而，高考复习数学的主旋律是“题”.实际上，“刷题万道，不如精做一道”，为了在“做数学”的过程中，获得数学基本活动经验，复习题应该“少而精致，锲而不舍”，进而获得活动过程中产生的数学基础知识、基本技能和基本思想，“少”来自教师角度，教师应根据学生情况针对性精选问题，去掉重复性的、已会的，补充体现重要思想方法与知识的联系的题和有研究价值、能提升数学素养的题，这比单纯“刷题”更高效；“精致”于学生而言，要求学会引申反思，融会贯通，举一反三，有一题多解、多题一解的思考习惯；“锲”从学生角度，需遇到难题不轻言放弃，肯用心钻研，善于利用同伴资源，群策群力，共同解决问题，直至对问题豁然开朗.

例5(2018·浙江卷·21)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.

(Ⅰ)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

①②两式相减，得a+b+y0=2(a+b)，即y0=a+b，又M为AB的中点，则点P,M的纵坐标相等，同在直线y=a+b上，所以PM⊥y轴.

解题之后，我们一定要认真地回顾自己的思路，反思解题中的得与失：题(Ⅰ)可以通过设点，利用“点差法”建立起弦AB的端点与点P的联系，巧妙利用点的坐标表示与位置关系上的对称性，从而获得结论，其好处是通过形的直观，使运算简洁，更重要的是避免字母运算上的抽象繁琐；也可以通过设直线，结合平面几何知识推算出MN为一条水平直线.题(Ⅱ)三角形面积的计算是直线与圆锥曲线的位置关系中的重点题型之一.在“设点”“设线”的解决思路，通过改“斜”归“正”，灵活运用“分割思想”为将三角形转化为底边与x轴平行的两个三角形面积之和；也可以通过弦长与高的计算，结合“韦达定理”进行代换消元，其缺点是运算较繁.此题变量较多，运算能力是解题成功的第一生产力，但变量多并不是盲目计算，而是寻找变量之间的联系，通过抽丝剥茧，化为单变量问题求解.

“精致解题”还有什么思考要继续吗？我们发现试题中的“PA，PB的中点均在C上”这一几何条件并非关键性的，还可以从一般性将其推广，获得结论：

进一步将结论特殊化，当λ=0时，直线PA,PB的极限位置为点A,B处的切线，因而，我们又获得问题的数学史背景：试题中的△APB是抛物线的阿基米德三角形的一般情形，阿基米德三角形则是试题中△APB的极限状态.这样，以此题为窗口，我们将会看到阿基米德三角形的一些美妙性质，这是埋头做题所不能获得的数学体验.