推陈出新 注重通法——以2018年高考全国卷数学试题为例

广东

2016年10月，教育部考试中心姜钢主任在《中国教育报》上发表署名文章，正式提出了“一体四层四翼”的高考评价体系，其中“四翼”(即“怎么考”)是指“考查要求是从国家人才强国战略出发，结合高校人才选拔需求提出的基础性、综合性、应用性、创新性”，“创新性”主要体现在“学生要具有独立思考能力，具备批判性和创新性思维方式”.众所周知，现行高考命题实行的是“题库命题”，但肯定不会照搬原题.于是，如何推陈出新，体现试题的创新性，同时又要注重“通性通法”，成为了命题者需要考虑的一个大问题.

纵览2018年高考全国卷数学文理科6份试题，笔者发现，试题从“题目背景、题干要素、设问方式”等多角度进行了创新，体现“素养导向”的命题趋势，即考生通过分析、思考和比较，从题干中提取有用的信息，将已有知识和方法进行迁移，就能解决新的问题.可以说，这与考生考前刷题的数量是无关的.笔者汇总部分试题进行分析.

1.函数与导数

【例1】(2018·全国卷Ⅰ理·16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是________.

【分析】本题属于“题干要素创新”，以“三角函数的最值”为载体，考查考生运用导数工具，结合三角函数的周期性求解函数f(x)最值.但是大多数考生没有意识到这一点，认为解决三角函数最值的方法就是通过升幂、降幂转化为同角的三角函数，即y=Asin(ωx+φ)的形式，然后借助三角函数的图象解决问题.

【解答】第一步：求导得f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1)；

【例2】(2018·全国卷Ⅲ理·12)设a=log0.20.3，b=log20.3，则

( )

A.a+b

C.a+b<0

【分析】本题属于“设问方式创新”，以“两个不同底数，相同真数的对数”为载体，比较它们的和与积的大小，并与0进行比较，考查考生通过构造基本初等函数运用作商法比较大小.但是，大多数考生没有进行深入分析，以为不同底数的对数难以比较大小，其和与积也不能运用对数公式进行合并，想不到逐层“剥茧抽丝”，只要转化成基本初等函数或运用作商法就能比较大小.

【解答】第一步：因为0

所以ab<0，且a+b<0，排除C，D；

而log0.30.4ab，排除A,故选B.

2.解析几何

( )

【分析】本题属于“题干要素创新”，以“直线与椭圆的位置关系”为载体，通常△PF1F2是椭圆的焦点三角形，但这里P点在过左顶点的一条直线上，本题考查考生运用数形结合等思想方法，“用代数方法解决几何问题”的能力.

【分析】本题属于“题干要素”与“设问方式”双创新，通常是要求椭圆的方程，但本题先给出一个特殊的椭圆与一个中点，要求参数的范围；而第(Ⅱ)问中则由平面向量给出关系式，证明三条线段的长度成等差数列，涉及知识点较多，综合性较强.由下面解答过程可知，本题其实还是强调通性通法，(Ⅰ)中的解法二其实是解决中点问题的常规方法——点差法，而(Ⅱ)中由于没有学习椭圆的第二定义，但是由两点距离公式可以轻松解决焦半径的问题.

3.立体几何

【例5】(2018·全国卷Ⅰ·理7，文9)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

( )

C.3 D.2

【分析】本题属于“题干要素”与“设问方式”双创新，以“三视图”为载体，常规的考法是把三视图还原成直观图，再求其面积或体积，而这里是考虑到直观图的展开图，将曲面问题转化为平面问题，运用“两点间线段最短”求解，计算并不困难，重点考查了考生“直观想象”的素养.

【解答】第一步：沿过点A的母线把圆柱侧面展开，A，B(B为下底边四等分点)的位置如图所示；

【例6】(2018·全国卷Ⅰ理·12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

( )

【分析】本题是一道改编题，在“设问方式”上有所创新，原题要求正方体十二条棱与某一截面所成角相等时线面角的值，而本题的创新之处在于“求满足条件的截面中，面积最大的一个”.显然，本题的设问对学生的“直观想象”的数学素养要求更高，若考生在第二步中运用构造函数的方法求解最值，则丧失了本题的意义，也把简单问题复杂化了.

【解答】第一步：找出符合条件的其中一个截面.

第二步：找出与截面A1BD平行的截面中面积最大的一个.

4.统计概率

【例7】(2018·全国卷Ⅱ理·8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

( )

【分析】本题属于“背景创新”，选取了“哥德巴赫猜想”这一至今未解决的世界数学猜想问题，我国数学家陈景润在这方面取得了世界领先的成果这一背景.利用这一深刻的数学背景，引导正确的价值观.

【例8】(2018·全国卷Ⅲ理·8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(X=4)

( )

A.0.7 B.0.6

C.0.4 D.0.3

【分析】本题属于“背景创新”，选取了“互联网+”时代一个便捷的生活方式——移动支付，也是被称为中国的“新四大发明”之一这一背景，体现了高考数学试题与时俱进，数学来源于生活的本质.

【解答】第一步：据题意，本题考查的是独立重复试验，对应的是二项分布，所以DX=10×p×(1-p)=2.4，则p=0.4或p=0.6，排除A，D；

5.其他题目

【例9】(2018·全国卷Ⅲ·理3，文3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

( )

A

B

C

D

【分析】本题通过“中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来”这一文化背景，考查三视图的知识，渗透了数学文化，旨在继承和弘扬中国传统文化.

答案：A.

【例10】(2018·全国卷Ⅰ理·10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则

( )

A.p1=p2B.p1=p3

C.p2=p3D.p1=p2+p3

【分析】本题以古希腊数学家希波克拉底发现的一个优美的定理——“蝴蝶定理”为背景，借助几何概型，让考生从中体会到了数学的美.

答案：A.

(Ⅰ)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(Ⅱ)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

答案：(Ⅰ)证明略.

【例12】(2018·全国卷Ⅰ文·18)如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.

(Ⅰ)证明：平面ACD⊥平面ABC；

【分析】本题的创新之处在于给出的图形并不是一个组合体，而是由简单的线、面组成的一个图形，图形简洁明了，运用“通性通法”即可轻易解决.

答案：(Ⅰ)证明略.

(Ⅱ)三棱锥Q-ABP的体积为1.

从以上分析可以看出：

(1)高考中“创新题型”成为一种趋势，起初给考生的感觉是似曾相识，但又不易觉察，若考生认真分析过后，却发现恰是“邻家女孩”；

(2)全国卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中，卷Ⅰ、Ⅲ的“创新题型”较多，卷Ⅱ偏少；

(3)文理分类中，理科卷比文科卷的“创新题型”要多；

(4)在各知识模块中，函数与导数、立体几何、统计概率出现“创新题型”的几率较大.

任子朝先生曾指出“高考试题”的命题方向：从能力立意到素养导向的转变，突出表现为考查目的从关注知识到关注人；考核目标从常规性的问题解决技能到创造性的探究能力；考查情境从学科知识到真实情境；试题条件从结构良好到结构不良；试题要素从单一因素到复合因素；试题结构从碎片到整体.

笔者认为，通过高考试题的分析，对今后的教学和备考有以下几点启示：

(1)夯实基础知识，提炼思想方法

数学知识是数学素养的外在表现，只有通过思想方法的提炼才能够实现素养的发展.在教学中，教师要注意加强基本概念、基本定理的教学，总结数学概念和定理中隐含的思想方法，把握数学问题的本质，这样学生就能做到融会贯通、举一反三.弗莱登塔尔说过：“真正能够起到思维训练作用的是数学思想方法而不是具体的题材，因而必须强调方法，并尽可能使其明确.”在教学中，教师可以设计具有探索性和研究性的问题，让学生在分析和思考的过程中培养数学思维，提炼数学思想.在数学思维教学中，教师可以不失时机地进行提问，引导和启发学生展开思考和讨论，领悟其中的思想方法.

(2)重视解题教学，突出通性通法

在数学学习的过程中，学生需要花费相当多的时间进行解题，“如何开展解题教学”是教师必须面对的问题.卢梭说：“教大多数学生能想到的方法，教育效法自然.”在教学中，教师要教学生学会思考，学会研究问题的一般方法，即通性通法，要注重对通性通法的归纳和总结，对问题不仅要知其然，更要知其所以然.通过解题和反思活动，充分挖掘典型试题的内在价值和迁移功能，通过一题多解，一题多变和创新题来培养学生的思维能力和创新意识.

(3)积累活动经验，发展核心素养

新课标要求，学生通过高中数学的学习，进一步获得学习以及未来发展必需的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.教学中，教师要注重学生数学活动经验的积累：一是重视数学对象的获得过程，从现实或数学事实出发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程，学会用数学的眼光观察世界；二是重视让学生经历数学对象的研究过程，以“一般观念”为引导发现规律、获得猜想、证明结论，学会用数学的思维思考世界；三是在应用数学知识解决问题的过程中，重视利用数学概念原理分析问题、解决问题的过程，学会分析数据，从数据中挖掘信息等，学会用数学的语言表达世界.教师可以通过设计有意义、适度的问题，引导学生经历上述过程并概括出数学的本质，逐步积累学生数学活动的经验，发展学生的数学核心素养.

(4)注重知识整体，构建知识网络

新课标强调开展主题教学，分阶段、分步骤加以实施，目的是构建知识的整体和联系，逐步提升学生的数学核心素养水平.在教学中，我们要深入理解、整体把握教学内容，从数学学科的整体结构、核心内容和重要思想上整体把握和认识数学教学内容，完整地体现好数学的科学性、工具性、价值理性和人文性这些特质.我们要理清各知识之间的联系，构建知识网络，做到知识和方法的融会贯通，这样才能以逸待劳，以不变应万变，决胜高考考场.