核心素养背景下数学概念教学的应有之义

颜碧梅 张桂芳

[摘  要] 数学概念在数学教学中占有非常重要的地位，核心素养背景下要求概念教学要真正以人为本，让学生真正理解和掌握概念. 通过创设情境，把握学生认知规律;通过启发性问题引导学生;让学生经历概念发生发展过程，了解“为什么”. 這些都是数学概念教学的应有之义.

[关键词] 数学概念;核心素养;概念教学

问题的提出

随着“核心素养”的提出，国内外学者越来越多地把目光聚集到学生的发展上. “核心素养”是学生应该具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力[1]. 它不应只是口头上的倡导和指向，而应落实到每一学科的教学实践上，通过各个学科的教学来发展和渗透. 对数学学科而言，它是以基本概念为基础的，对客观事物进行本质属性的归纳. “概念”如同组织中的“细胞”，整个“数学系统”需要它们的“组织”“参与”和“运作”才能维持. 因此，概念教学的有效性非常关键.

数学概念教学历来受到教师们的重视. 许多教师在教学中，通常采用“三个例子——一个概念——八项注意”的模式[2]，或者“一个定义——三项注意——几道例题——大量练习”的模式等[3]，这些模式确实简明易行得只需学生记住要学习的概念，不必问其“从何来”“为何来”“去何处”，不用经历如何将这个概念的外延所蕴含的本质属性凝练为概念内涵的知识建构过程，因而这些模式又往往被指为“掐头去尾烧中段”. 由于缺乏数学本质形成的学习，学生的认知经历自然是空洞而生硬的. 这种“轻本质、重训练”的教学方式显然“跑偏”了“核心素养”这一轨道. 核心素养强调的不只是知识的获取，更多的是能力的养成和形成终身学习的意识. 数学课堂中的概念教学，就应启思益智，让学于生，把握其应有之义.

创设情境，概念教学要遵循规律

著名心理学家维果斯基提出了自发性概念和科学概念[4]. “自发”指没有刻意教，不知不觉产生的;科学概念则是定义明确、有一定逻辑定义的[4]. 在学习“科学概念”前，学生的认识并不是一张“白纸”，而是在生活中有了一定的自发概念，只是还无法用严格的语言描述出来. 如：学生在学习“圆”的科学概念前，虽然还不能用“定点”“定长”“封闭曲线”这种严格语言描述，但头脑中已有圆的表象认识. 其实，“自发性概念”和“科学概念”就如同感性认识和理性认识的关系. 我们都知道，人对事物的认识是从感性认识开始的，只有在此基础上通过理性思考，才能抓住事物的本质. 因此，感性认识是人在认知过程中不可缺少的环节. 由于数学概念具有强烈的抽象性和概括性，学生学习时易出现恐惧心理，望而却步，缺乏自信心. 所以，教师不能对学生的“自发性概念”罔而不顾，要以此作为切入点，创设情境，尽量调动学生的自发概念，以客观事物为基础进行概念的抽象和概括. 下面以我们在调研时听取的一节公开课《平面向量的实际背景和基本概念》（第一课时）来分析：

片段一：概念的形成

（1）情境一：播放视频——南辕北辙的故事，商人能否到达楚国？为什么？

（3）情境三：甲地与乙、丙地的距离均为10公里，一只鸟想从甲地飞到乙地，若从甲地出发，随意飞行10公里能否到达乙地？

（4）情境四：有个木块，在3 N作用下缓慢运动（图1），若保持力的方向不变，大小变成5 N，木块发生什么变化？若保持力的大小不变，方向改变，木块又会发生什么变化？

片段二：向量的表示

（5）数有几何表示，数和数轴上的点可建立一一对应关系，所以可利用数轴上的点去表示. 那向量的几何表示又是什么呢？

（7）实数集中，“0”“1”是两个特殊元素，向量中有无与之类似的量？若有，怎样去定义？

这是一堂概念形成课，老师把情境实例和学生已有认知的作用发挥得淋漓尽致：

第一，片段一提供了很多生活和物理学习中的实际例子，引导学生分析其中的共同点，明晰学生经验中对向量的自发认识. 老师呈现了四个情境，从多个角度让学生感受到，现实生活中存在“既有大小，又有方向”的量. 这些问题在生活中很常见，但学生未必对其有准确认识. 通过情境的创设，有助于指引他们逐步抽象出这里所关注的量（向量）有大小和方向两个本质属性.

第二，片段二在“数”的已有认识上对“向量”进行类比思考，从数量（已有的先导概念）到向量，“0”到“零向量”，“1”到“单位向量”等，自然过渡到新知识.

第三，这节课还有很多类似的手法，通过创设“平易近生”的情境，帮助学生从身边实例“发现”学习的核心内容，“不动声色”地调动学生的已有经验积极参与到学习活动中来. 并且通过“数”的类比，鼓励学生勤于反思，善于总结已有经验，这都是在渗透“学会学习”的核心素养啊[1]！

问题驱动，概念教学要注重启发

《课标》（2011年版）指出：“教师的引导作用主要体现在：通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考、求知求真，并用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动，提高教学活动的针对性和有效性. ”[5]“问题是数学的心脏”，有问题才有思考，才能让学生进入“我要学”“我在学”的状态，课堂教学才有效. 若教师过于强调概念的知识本位，而忽视了概念的形成过程，把大部分时间放在记忆上，学生获得的只是一个“空中楼阁”的概念，就难以真正理解其本质属性. 所以，教师作为引导者，应以问题为中心、深入启发学生，让学生在潜移默化中，体会和掌握数学的思想方法，真正做到“授人以渔”.

笔者阅读了一节七年级《数轴》的课例，以下截取其中的一些片段：

思考：在一条东西方向的马路上，有一个学校，学校东50 m和西150 m处分别有一个书店和一个超市，学校西100 m和160 m处分别有一个邮局和医院，分别用A，B，C，D表示书店、超市、邮局、医院，你会画图表示这一情境吗？

老师：对照大家画的图，为了使表达更清楚，我们把0左右两边的数分别用负数和正数来表示，即用一直线上的点把正数、负数、0都表示出来，也就是本节内容——数轴.

点拨（1）：引导学生学会画数轴.

第一步：画直线定原点.

第二步：规定从原点向右的方向为正.

第三步：选择适当的长度为单位长度.

第四步：拿出教学温度计，由学生观察温度计的结构和数轴的结构是否有共同之处. 对比思考：原点相当于什么;正方向与什么一致;单位长度又是什么？

点拨（2）：定义数轴.

本节课是学生首次接触数形结合的实例，蕴含了利用图形解决数学问题的教育价值. 这位老师对“数轴”的理解显然不到位. 本节课重点是建立数轴的概念，“建立”是一个过程，但遗憾的是，老师没有让学生经历“建立”的过程，而是直接给出概念. “为什么要规定正方向？为什么要规定单位长度？为什么要规定原点？”这些揭示“数轴”本质属性的问题全被“一笔带过”，学生无法理解数轴的“三要素”，也错失了一次次思考的机会.

若能这样改进：

思考：在一条东西方向的马路上，有一个学校，学校东50 m和西150 m处分别有一个书店和一个超市，学校西100 m和160 m处分别有一个邮局和医院，怎样用图形表示这些地方的位置？

问题1：用什么表示东西方向笔直的马路？

问题2：与周围同学画的图形进行比较，一样吗？为什么一样的情境图形会不一样？

问题3：为什么有些同学画的书店离学校近一点，有的远一点？

问题4：在直线上，先标出的是什么？为什么？

问题5：为什么都把学校标在中间位置，而没有标在左边或右边呢？

问题6：若用正负数表示这一问题中的相反意义的量，基准点是什么数？基准点的右边是什么数？左边呢？

问题7：怎样在直线上进行合理规定才能表示这些数呢？为什么？如果不规定原点、正方向和单位长度，能把有理数表示为直线上唯一的点吗？

案例改进后，充分利用了创设的情境，恰当把握了问题的启发性和驱动性. 通过基于定位的形象（直线）、距离与比例（单位与刻度）、方位与方向的必要性的连续追问，一步步引导学生发现数轴的本质属性，学生在思考问题中，充分把握了“数轴”这一概念规定“三要素”的必要性，因此掌握它也就“水到渠成”了. 通过问题串的形式组织教学，推动学生一步步去探索，不仅让学生经历主动建构知识的过程，而且无形中激发了学生解决问题的兴趣和热情，这也正是培养“实践创新”“学会学习”核心素养的一大途径[1].

体验生成，概念教学要追根溯源

在概念学习中，常有学生问：为什么要学习它？为什么这样定义？章建跃先生认为：“从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点”[6]. 因此，有必要让学生了解概念生成过程，让学生了解“为什么”，鼓励“从头到尾”地思考问题，知道知识的来龙去脉. 例如，“复数”的教学，由方程x2+1=0无实数解引起“数不够用”的想法，再回顾从自然数到整数，到有理数，到实数的过程，在此基础上寻找新的数. 这样可以让学生明白引入虚数的必要性.

当然，在数学课堂上，不可能让学生重演复制数学概念在数学史上的发展过程，但却可以通过讲述概念发展过程，或通过渗透知识生成的思想让学生理解和接受. 将前人的方法内化，让学生从内心上接受它，明白学习的必要性和价值. 这也是培养“核心素养”的内在要求，它要求学生不仅要知其然，还要知其所以然，掌握学习的方法. 下面是《生活中的负数》一课中的片段，我们来欣赏这位老师的精妙处理：

记录：听取信息，选择你最喜欢的方式把听到的数据准确记录下来，关键是让别人一眼就能看明白你所表示的意思：

①足球比赛，中国国家队上半场进了两个球，下半场丢了两个球.

②学校四年级共转来25名新同学，五年级转走了10名同学.

③张阿姨做生意，三月份赚了6000元，四月份亏了2000元.

汇报：第一种：用文字表示;第二种：用图形表示.

老师：你用的符号，意思你明白，他用的符号他明白. 数学符号是帮助我们交流的，怎样才能让大家都明白？

第三种：用“+”“-”表示.

老师：和数学家表达的一样，这种方法好在哪儿？

……

（简单介绍负数发展史）

引入负数前，让学生经历听取信息，用各种方式表达信息的过程，这样学生通过比较很容易发现使用“-”的简洁性和必要性，从而在内心上接受“负数”. 同时，老师读出的是具有相反意义的量，渗透了“负数”的发生发展过程和本质属性，也把负数所具有的“符号结果”与“表示方法”融会贯通了. 然后再补充说明，在负数的发展史上，人们在生活中也会遇到这样的量，如做买卖有进有出，所以人们才引入了正负数的概念，从而明白正负数产生于生产实践，也应用于生产实践.

课堂教学中，从概念的现实背景和情境出發，调动学生的自发经验，用一系列聚焦于概念本质属性的追问，推动学生经历将这个概念的外延所蕴含的本质属性凝练为概念的内涵的过程，并把概念形成的科学方法融进教学过程，这样的教学必然是核心素养背景下数学概念教学的应有之义.

参考文献：

[1]  林崇德. 构建中国化的学生发展核心素养[J].北京师范大学学报：社会科学版，2017（1）：66-73.

[2]  王红兵，卜以楼.生长过程——概念教学的本质标志[J]. 中学数学教学参考，2017（20）：27-29.

[3]  刘聪胜，杜海洋. 浅谈数学概念教学设计的基本途径[J]. 中学数学教学参考，2017（13）：26-29.

[4]  李世琦. PME：数学教育心理[M]. 上海：华东师范大学出版社，2001.

[5]  中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[6]  任伟芳. 为培育核心素养凸显概念教学过程而设计——对“空间几何体的结构”一课的点评[J]. 中学数学教学参考，2016（31）：16-17.