思维互动课例设计及教学启示

[摘  要] 数学教学不仅要教给学生已发现的现成的数学理论，更重要的是还要教给学生如何进行数学活动;要教给学生如何像数学家那样去活动，那样去思维. 笔者执教一堂研究课：圆的标准方程——像数学家那样去思维，这是一堂数学纯思维课. 以“问题链”引领思维;以“对话”营造自然的冲动和向往，引导观念的转变;以平板（Pad）电脑辅助，用技术加快思维的脚步.

[关键词] 思维活动;问题链;互动课堂

教学目标

（1）知识与技能：掌握圆的标准方程.

（2）过程与方法：经历数学研究的过程，学会研究数学;解题中渗透代数法与几何法.

（3）情感态度价值观：在知识生成的过程中感受数学来源于生活并应用于生活，在图形到方程的转化过程中，提高数形结合解决问题的能力.

教学重点、难点以及措施

（1）重点：圆的标准方程的推导.

（2）难点：求圆的标准方程并解决实际问题.

（3）措施①：在课堂中通过问题营造本原、自然的冲动和奋发的学习氛围，引起学生的求知欲，使其在和谐的课堂氛围中，自觉参与课堂学习. 教师和学生一起揭示数学的神奇，发现数学的完美，探索数学的应用，表达数学的精深. 具体地说，突出重点的措施是：通过问题链2-1至2-7环环相扣，引领学生研究重点.突破难点的措施是：通过问题3-1至问题3-4由浅入深的设计，层层突破难点.从整堂课来看，问题1回答：数学研究什么？问题2和问题3回答：怎么研究数学？问题4和问题5回答：为什么要研究数学？

措施②（技术措施）：平板（Pad）电脑和智学网络的利用，使得师生查阅资料方便及时，重难点练习反馈及时，师生课上课下互动交流及时，课后发送作业具有更强的针对性，实现从“人找资源”到“资源找人”的转变，为突破教学难点提供便利.

学习者及教学环境分析

学习者是高一下学期的学生，他们初中学习了圆及圆的几何性质，前一章在平面直角坐标系下研究了直线方程，已经初步接触了在平面直角坐标系下研究简单几何图形的基本方法.一台教师平板（Pad）电脑，63台学生平板（Pad）电脑，多媒体，网络情况：较好.

教学实录

1. 课前问卷调查

问题*：你认为我们为什么要学习数学？

A. 为了高考

B. 为家长学、为老师学

C. 学校的安排，不学不行

D. 体会到学习数学是一种自然的发现、研究和应用过程，能以此提高思维能力

E. 其他原因

活动目标：调查学生学习数学的主要动机.

媒体功能应用及分析：通过平板（Pad）进行问卷调查，通过现场统计，看出学生学习数学动机的基本情况.

2. 数学化（课前召唤）

教学内容：重温“圆”探究路，返璞归真，体验知识的发现（初中数学第24章学习回顾），唤醒学生的原有认知.

活动设计：

问题1：你认为数学在研究什么？（先展示学生头一天晚上交流平台上的信息，教师再总结：数学研究的是现实世界中的空间形式和数量关系）

问题2：怎么研究数学？今天，我们以圆的研究为例，来回答这个问题.

问题2-1：当生活中遇上圆：生活中有哪些物体给人以圆的印象？学生先举例，教师后举例.

问题2-2：提取数学几何模型：生化研究色味和成分，物理研究运动和受力，而数学研究什么呢？教师：数学只论“形”，不论“色”（去色，除味，…，留形）. 教师利用平板（Pad）展示提取数学模型的过程.

问题2-3：抽象出本质属性：如何给这个数学模型下个定义？分以下两个小问题来解决.

问题2-3-1：圆具有什么本质属性？请说出它的几何表达.到定点的距离等于定长.

问题2-3-2：怎么给圆下定义？平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫作圆.

问题2-4：初中已经研究了圆哪些几何性质？大家提前查到了哪些资料？（关于弧、弦、圆心角、圓周角、切线、割线，等等）

教师展示学生查找到的资料.

活动目标：关于此模块的问题，学生已经在课前通过微课学习谈论交流过.课堂上通过师生对话的方式，以“问题链”复习初中学习的圆，经历数学研究的过程，体验数学知识产生的全过程.具体地说，问题1回答数学研究什么？意图是告诉大家，数学研究生活;问题2是本堂课的核心问题，回答数学是怎么研究生活的.学生利用平板（Pad）电脑课前查资料重温初中知识.

媒体功能应用及分析：学生课前通过微课学习，讨论微课下方老师提出的几个问题. 使用平板（Pad）电脑查找资料，唤醒大脑中已有的关于圆的几何知识，并将查找的资料分享给全班同学. 课堂上教师展示学生交流平台，并做总结.

3. 未解之谜（“圆”探究路上遇障碍，引起困惑，唤起向往）

活动设计：

问题2-5：你能用已学的圆的几何知识很快解决以下问题吗？如图1，是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度. （精确到0.01 m）

本道题用几何方法是能解决的，预设：（1）若学生找到了解法，请学生阐述解法，并给予褒奖，并提问：还有别的方法吗？你能用代数法解决吗？抛出问题，引起向往. （2）若学生不能解决. 造成了一个认知“缺口”，我们需要弥合对圆的研究“缺口”之后，再来解决这个问题.

活动目标：回顾初中对圆的几何性质的研究后，遇到新的问题，寻求问题解答，并寻求新的办法.

媒体功能应用及分析：教师通过平板（Pad）电脑展示分析学生完成的情况.

4. 代数探索

教学内容：共续“圆”探究路1（在平面直角坐标系下研究圆），逐步完善，感受知识的形成.

活动设计：

问题2-6：从初三学圆到现在，时隔一年多，有圆相逢，我们能提起笔接着研究吗？今天，我们有些什么变化？多了什么工具？具备了什么能力？

问题2-6-1：在上一章里，时隔多年重逢直线，我们做了什么？（将直线放到平面直角坐标系中研究，可以得到直线方程，进而用方程继续研究其性质）

问题2-6-2：我们可以借鉴吗？怎么继续研究圆呢？（将圆放到平面直角坐标系中研究，可以得到圆的方程，进而用方程继续研究其性质）

问题2-7：怎么求圆的方程呢？我们首先将圆放入平面直角坐标系中，学生在草稿纸或平板（Pad）电脑上画圆并建立平面直角坐标系，将学生建的系进行归类：一类是圆心在坐标原点，一类是圆心不在坐标原点.

问题2-7-1：同学们画的圆有大有小，建的系也不尽相同，在平面直角坐标系中，圆的位置由什么决定？圆的大小由什么量决定？（圆心决定位置，半径决定大小. 当圆心和半径确定了，圆也就确定了）

问题2-7-2：当圆心和半径r确定了，如何利用圆心和半径求出圆的方程？师生对两类坐标系下的方程求解并分享.

师生共同总结过程：通过“建、设、限、代、化”求出圆的方程.

（教师总结过程板书）

活动目的：为圆插上翅膀——从几何向代数的飞跃.引领学生在平面直角坐标系下用代数的方法研究圆.具体地说，问题2-5及2-5-1和2-5-2是过渡性问题，引导学生类比直线的研究方法研究圆;问题2-6及问题2-6-1和2-6-2是目标性问题，引导学生建立起圆的方程.

“建”的目的是让圆进入平面直角坐标系;“设”的目的是让圆上的点具有坐标;“限”的目的是找到圆的几何关系;“代”的目的是让圆的几何关系变为代数关系，即圆的方程;“化”的目的是让圆的方程和谐美观，容易记忆，方便使用，即标准化.

媒体功能应用及分析：学生自主探究后利用平板（Pad）电脑进行交流. 学生在平板（Pad）电脑上展示出自己思维活动的原始状态，让数学思维及时可视化，方便师生共同纠正和提炼.

5. 代数成果提炼

教学内容：共续“圆”探究路2（总结圆的标准方程）.

活动设计：

问题2-8：“建设限代化”的目的是为了得到一个圆的标准的代数表达，即圆的标准方程，然后约定，以后都这样表达，请总结圆的标准方程.

圆的标准方程：（x-a）2+（y-b）2=r2.

以C（a，b）为圆心，r为半径的圆上的点的坐标都满足以上方程，满足方程的点都在圆（x-a）2+（y-b）2=r2上，我们称这个方程为圆的标准方程.

问题2-9：让我们再回头一起研究一下，几个量可以确定圆的标准方程？（反思性问题）

三个量：从代数的角度，可以说a，b，r三个量确定圆的标准方程;从几何的角度，可以说圆心（a，b）和半径r两个量确定圆的标准方程.这可能就为我们后面求圆的标准方程提供了两个思路.

活動目的：问题2-8和2-9让圆的标准方程隆重登台，进入我们的认知结构中，并对其剖析备用. 为后面的运用做好方法的铺垫.

媒体功能应用及分析：师生共同总结.

6. 代数成果运用

教学内容：共续“圆”探究路3（圆的标准方程的运用）.

活动设计：

问题3：至此，我们已经将圆的几何关系转化为代数关系，大功告成，那么我们如何运用以上研究成果呢？（应用性问题）

问题3-1：以后我们如何求圆的方程？还用每次都“建、设、限、代、化”吗？（应用性问题）

不用！经过一次“建、设、限、代、化”后，就真正进入了“现代化”，以后求圆的标准方程，从代数的角度看，只用解方程求出a，b，r三个量即可;从几何的角度看，只用找到几何关系求出圆心和半径即可.

问题3-2：（1）圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程为（  ）（识a，b，r）

A. （x+2）2+（y-3）2=5

B. （x+2）2+（y-3）2=25

C. （x-2）2+（y+3）2=5

D. （x-2）2+（y+3）2=25

（2）圆心为A（8，-3），且经过点M（5，1）的圆的标准方程为（  ）（识a，b，寻r）

A. （x+8）2+（y-3）2=5

B. （x+8）2+（y-3）2=25

C. （x-8）2+（y+3）2=25

D. （x-8）2+（y+3）2=5

问题3-3：求以A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）为顶点的三角形的外接圆的标准方程. （应用性问题）平板（Pad）抢答游戏. （寻a，b，r）

（学生课后完成计算并提交）

活动目的：通过问题3-1唤醒a，b，r，实质上是唤起学生对圆的标准方程的再次记忆;问题3-2识a，b，r包含了两道题，（1）是现成的a，b，r，（2）是现成的a，b，隐藏的r;问题3-3寻隐藏的a，b，r，需要学生自己去想办法寻找a，b，r.

问题3-2由学生独立完成后上传平板（Pad）统计;问题3-3在课堂上由学生分析得出解法，不作计算. 课后1至4小组在课后作业中用代数法计算;5至8小组用几何法计算.都记录自己计算所需的时间，在平台上交流比较代数法和几何法的优劣.

媒体功能应用及分析：学生通过平板（Pad）电脑展示思维过程，让思维过程及时可视化（分别选1至2位做对和做错的同学展示交流）.

问题3-2是客观选择题，通过平板（Pad）的问答统计，可以看出正确多少人，错误多少人，选A，B，C，D的各有多少人，方便教师快速了解学生的学习情况，并做课堂调整和课后作业的分类发送.

问题3-2和3-3没有顺利完成的同学，课后进入智学网平台，在老师布置的针对训练题中完成“三选一”并提交后获取解析订正.

7. 揭秘解惑

教学内容：创a，b，r完成未解决的问题.

活动设计：

问题3-4：如图2，是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造時每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度. （精确到0.01 m）（平板（Pad）抢答游戏）

解：建立如图所示的平面直角坐标系，设圆心坐标为（0，b），圆的半径为r，那么圆的方程为：x2+（y-b）2=r2. 由于点P和点B都在圆上，所以02+（4-b）2=r2①，102+（0-b）2=r2②. 由①和②得b=-10.5，r2=14.52，故圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52. 将x=-2代入得（-2）2+（y+10.5）2=14.52，解得y≈3.86（m）.

活动目的：前后呼应，解决前面提出的问题.回到当初，“我”已不是当初的“我”. 通过问题3-4学会自己建系创造a，b，r. （学生课后完成计算并提交）

媒体功能应用及分析：学生找到解法后，平板（Pad）游戏抢答.若有需要，教师给学生公用机视频展示解法.

8. 课堂升华（内容和研究方法小结）

活动设计：

问题4：本堂课我们研究了什么？怎么研究的？给了我们什么启示？（内容和方法的升华）

问题5：为什么要研究数学？研究数学有哪些好处？（思维品质和观念的升华）

将来，我们还会用同样的方法去研究椭圆、双曲线和抛物线等，敬请期待！

一位学者说过：要想让自己在学习数学的过程中获得乐趣，使天天学习数学不至于变成单调乏味的任务，那就走上研究数学这条幸福的道路上来吧.——笔者说的（周跃佳）

活动目的：问题4：教师结合板书总结. 问题5：学生回答. 问题4旨在回顾本堂课所学知识和研究知识的方法;问题5旨在更新和强化观念，提高思维水平.

媒体功能应用及分析：师生口头互动交流，达成知识、情感和观念的共鸣.

9. 课后问卷

问题：你认为我们为什么要学习数学？

A. 为了高考

B. 为家长学、为老师学

C. 学校的安排，不学不行

D. 体会到学习数学是一种自然的发现、研究和应用过程，能以此提高思维能力

E. 其他原因

活动目的：调查学生亲身体验了圆的标准方程的研究过程后，学习数学的观念的变化.

媒体功能应用及分析：通过平板（Pad）进行课堂调查的现场统计，看出学生学习数学的动机的情况.

板书设计：如图3.

教学启示

数学教学不仅要教给学生已发现的现成的数学理论，更重要的是还要教给学生如何进行数学活动;要教给学生如何像数学家那样去活动，那样去思维.这是一堂数学纯思维课.

1. 课堂形式：以“问题链”引领思维

本堂课以“问题链”引领学生进行数学思维活动，让学生参与和经历整节课的思维过程，充分体现知识发生、形成的过程，充分挖掘解题的思维价值. 从学生实际出发，使教材中的静态知识操作化、活动化，从而极大限度增强学生的参与欲望，提高学生学习的主动性和积极性.具体地说，引入部分（问题1、问题2（2-1至2-4））：返璞归真，体验知识的发现;“未解之谜”（问题2-5）：认知冲突，形成“缺口”，唤起向往;求圆的方程（问题2-6至2-9）：逐步完善，感受知识的形成;应用部分（问题3-1至3-4）：捕捉信息，沟通知识联系，应用于生活实际，弥合学生心中的“缺口”. 总体来说，问题1回答：数学研究什么？问题2和问题3回答：怎么研究数学？问题4和问题5回答：为什么要研究数学？

2. 课堂情感：以“对话”营造自然的冲动和向往，引导观念的转变

在课堂中营造本原、自然的冲动，奋发的学习氛围，引起学生的求知欲，使其在和谐的课堂氛围中，自觉参与课堂学习，教师和学生一起揭示数学的神奇，发现数学的完美，探索数学的应用，表达数学的精深.

数学教育家弗赖登塔尔提出“再创造”的数学教育原则.他认为真正的数学教育应遵循数学发展史所表明的渐进系统化的过程，教活动的数学，教学生像数学家那样用再创造的方法去学习，从自己所接触的数学现实中进行再创造，得出许多数学成果，从而找到一条培养学生数学创造能力的途径.本堂课通过启发点拨数学研究的思路，抛出实际问题引起困惑，唤起继续研究解决问题的向往.

从课堂小结和课堂调查中可以看出，学生体会到了研究数学的好处：①获取了数学知识;②学会了研究数学的方法;③可以养成研究的习惯;④解决了生活中的问题;⑤提高了自己的思维能力……

3. 课堂媒体：以平板（Pad）辅助，用技术加快思维的脚步

（1）学生利用平板（Pad）电脑可以在课外及时查找获取想要的资料，如本节课前，学生已经利用平板（Pad）查找并复习圆的有关几何性质.

（2）利用计算机的交互性，把教学和练习融为一体，使学生处于一系列交替询问和回答中，同时，学生在做完一个题目后就能获得及时的信息反馈而不必等待老师批判作业.而做错题目的学生，在获得正确解答信息的同时，也获得一道同类题目，避免大量重复练习给全体学生带来的枯燥乏味，实现从“人找资料”到“资料找人”的变革.

（3）体现了“以学生为中心”的个别化教学，能按照学生的特点因材施教.如计算机首先将教学信息传递给学生，学生阅读思考后回答，计算机将学生的回答进行分析、评价、计算，然后给出反馈信息和指导建议，使每个学生都能在适合自己的环境中学习.

（4）抢答游戏利用了计算机产生一种带有竞争性的学习环境，把科学性、趣味性与教育性融为一体，以激发学习动机，锻炼学生决策能力，起到“寓教于乐”的作用.