结构观下的解题教学

于涛

[摘  要] 文章简述了对结构观下解题教学的认识;以解析几何的面积最值问题为例，展示了课堂教学中构建知识联系结构、方法模型结构、解题程序结构的过程，进而抽象概括出解题结构;阐述了结构观下解题教学的积极作用.

[关键词] 结构观;解题结构;解析几何;面积问题

解题教学是教学中最为频繁的数学活动，常见的解题教学模式以“一题多变”和“一题多解”为主. “一题多变”能帮助学生开阔视野，通过对题目条件、设问的改变实现变式教学，但万变不离其宗，题目的结构是稳定的;“一题多解”能帮助学生发散思维，根据题目的条件、设问从不同角度联系知识、应用知识，实现解法的多样性，其核心是知识的联系与模型的识别. 解题教学若能将二者结合，就能以结构观展开教学. 这里所指的结构是为实现数学教育功能的结构，强调数学知识间的广泛联系，方法模型的准确识别，特别指属性显然、特征明显、易于识别联系的结构[1]. 如向量可以根据其属性联系几何、坐标向量和抽象向量，形成知识联系结构;数列求和可以根据通项公式的结构联系不同求和的方法模型，形成方法模型结构;综合问题往往由多个知识、模型串联，需要逐个识别依次求解，形成解题程序结构等.

纵观全国卷高考真题，有关解析几何的面积最值问题频繁出现，推陈出新，看似熟悉的问题，却总是不易得分. 因此，有必要从结构观出发，把握题目“变化”背后的“不变”. 下面笔者就以“解析几何的面积最值问题”为例，谈谈结构观下的解题教学.

教学片段

1. 构建知识联系结构

例1：（2017年南昌月考改编）已知圆C：x2+y2=2，过点P（2，0）的直线l与圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值.

题目是与圆有关的三角形面积问题，求解过程包含两个环节，环节一是三角形面积函数的推导，环节二是面积函数最大值的求解. 在环节一的教学中，面积函数的推导与主元（自变量）的选取紧密联系，不少学生只想到用解析几何的通性通法，用斜率k作主元（见解法一），忽略了代数角度主元选择的多样性，也忽略了解析几何的几何性，以及圆的特殊性.要打破解题思维的僵化，就需要在教学中引导学生根据题目条件进行知识的广泛联系.

环节一的教学，通过广泛的联系知识进行主元的选择，帮助学生构建知识联系结构. 解析几何集几何、代数于一身，解题时可以从几何、代数两个方向进行知识的联系，从代数角度可以联系普通方程、参数方程等知识，以斜率k、倾斜角θ等为主元;从几何角度可以联系圆、三角形等相关知识（平面几何、解三角形等），以相关几何量为主元. 这样多角度联系知识的结构，能帮助学生厘清解题方向，开拓思维视野.

2. 强化方法模型结构

上述最值求解方法，紧扣分式函数的结构特性，从齐次分式、非齐次分式、分子、分母、积与和等结构特征出发，利用转化、换元将分式函数转化为二次函数、基本不等式模型，或直接应用基本不等式，强化方法模型结构，并将应用导数求函数最值并入方法模型结构，推动学生实现思维不同层次的发展.

3. 完善解题程序结构

通过例2求面积函数的教学，学生明确了知识联系结构中几何、代数两个方向，在几何方向中，除了圆，还需注意解三角形、几何结论等与几何有关的知识;在代数方向中，学生并不习惯参数方程的应用，可以建议学生先以k为主元计算，必要时代入k=tanθ. 纵观例1、例2的知识联系结构，可以建议学生先几何后代数，先k后θ，以尋求最简洁的解题逻辑、最小的运算量、最熟悉的思路，细化解题逻辑，完善解题程序结构. 需要说明的是，主元的选择是解析几何重要的思维意识，不局限于斜率k和倾斜角θ.

例2求解最值的教学与例1类似，方法模型结构虽保持一致，但可以建议学生先思考直接应用基本不等式，再思考换元或转化，最后考虑应用导数，推动学生发展思维，优化解题程序结构.至此，解题结构构建完成，如图1.

练习的目的是应用解题结构. 例1、例2、练习由模拟题和真题拆分改编而来，形成有机的整体，帮助学生体会题目背景、条件虽然在发展变化，但万变不离其宗，解题结构保持不变.

整节课围绕解题结构（如图1）展开，从解题思路的探寻，到解题方向的实践、比较;从面积函数的得到，到函数最值的求解策略，构建解题结构，突破解题难点;从圆到椭圆，从椭圆到椭圆与圆，从三角形到四边形，螺旋上升，强化解题结构，帮助学生提高应用知识的能力，发展逻辑推理能力和运算求解能力.

教学思考

高三复习是知识综合应用的学习，结构观下的解题教学，是知识结构、方法结构的重组，通过把一类题目相关的知识、方法整合起来，组织成赋予某种意义的结构，帮助学生进行解题梳理和反思，推动学生应用结构进行解题.

结构观下的解题教学能促进学生拓宽解题视角. 结构观下的解题教学以明确知识属性、沟通知识联系、识别模型特征等为核心，构建解题结构的同时，帮助学生建立不同解题视角的生长点，推动学生进行有理有据的思维发散，形成脉络清晰的知识、方法结构，看似设置了结构的条条框框，实则激活了学生的思维视角.

结构观下的解题教学能促进学生提高思维能力. 一个数学问题的解题结构是外在形式与内在逻辑的统一，根据结构的内在逻辑，对外在形式（具体题目）进行改编，就能形成变式教学，帮助学生提高形式、特征的识别能力，深刻理解结构、完善结构，形成若干解题逻辑，促进题目最优解法的探寻，实现知识方法的灵活运用. 比如文中通过例1、例2、练习的设计，凸显解题结构稳定的同时，让学生体会思维的发散与优化，让不同层次的学生实现不同层次的思维发展，做到看似无结构，却处处在结构之中.

结构观下的解题教学能促进学生发展认知结构. 奥苏泊尔认为，就学习方面，认知结构指学生在某一特定的知识领域内的各种观念的内容和组织[2]，它是一种经过学习者主观改造的知识结构，它是数学知识结构与学生的心理结构高度融合、内化的结果. 解题结构的构建正是根据知识结构，积极构建的具有主观性的结构，该结构能给学生解题方向进行指导，提供知识应用的固着点;能帮助学生提高对知识与模型的联系与识别能力;能通过反复应用结构，推动学生有关数学的简约性与单纯性、迁移性与发展性、广泛性与严密性等认知的发展，形成自动自觉的思维过程，达到结构的内化，实现认知结构的发展.

总之，结构观下的解题教学倡导积极构建解题结构，让学生从结构观的角度进行解题、反思等学习活动，优化学生思维，实现高效学习.

参考文献：

[1]  沈良. 略谈数学结构观下的解题与教学[J]. 数学通讯，2012（24）：1-3.

[2]  喻平. 数学教学心理学[M]. 北京：北京师范大学出版社，2010.