◎杨丽
新课程数学教学,实现的是学生对所学知识的螺旋式上升。在新授课过程中,对选修2-1第41页例3“设点A,B的坐标分别为(-5,)0,( 5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程.”,仅仅是对用直接法求轨迹方程的应用。但在高三一轮复习中,学生的认知能力全面提升,在复习到椭圆时,应重温此例,并对其拓展到椭圆的第三定义,适时扩充到双曲线的第三定义,并加以应用。
证明:以焦点在轴上的椭圆为例,构造△PAB的PA边所对的中位线MO,kPA=kMO
证明:只需将椭圆中的b2全部换成-b2就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。
(1)若直线l1:y=k1x+1与直线l2:y=k2x-1的交点在椭圆2x2+y2=1上,则k1k2的值为_________.
化简得:k1k2=-2
法二:直接利用椭圆的第三定义,交点视为点P
则k1k2=-2
点评:从以上两种解法可以看到:法一完全体现解析几何的“本色”——运算,平铺直叙,一气呵成,但计算量较大,易计算容易出错;法二直接利用椭圆的第三定义解题,省去繁琐的计算,提高效率。
点评:两顶点一动点的模型联想到第三定义,那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角,把正余弦转化为正切。而题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点。
点评:在此法中,合理利用M、N的对称关系是解题的关键,这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来,既构造了“一正”,又构造了“二定”,利用基本不等式“三相等”即可用a、b表示出最值1。
(1)已知双曲线C:x2-y2=2019的左、右顶点分别为A、B,P为双曲线右支上一点,且∠PAB=4∠APB,则∠PAB=______.
可见,在解题中,要落实到定义,它是一切后继知识应用的牢固根基。要想准确运用好椭圆、双曲线的第三定义解题,在审题中,抓住曲线上关于原点对称的两点,斜率等关键词是快速入手的关键。