数学实验设计及教学实践研究——以《整式的加减数学活动——日历中的数学》的教学为例

◎刘小菲

2011年版《数学课程标准》指出：“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，《基础教育课程改革指导纲要》把“以学生发展为本”作为新课程的基本理念，这就要求教师除了要加强学生的基础学习，还要提高学生的发展性学习和创造性学习，从而培养学生终身学习的愿望和能力。而数学实验就为我们开展数学活动提供了一个有效的途径。

一、数学实验的意义及类型

数学实验教学是让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念、理解或解决问题的一种教学过程。在这过程中，教师通过提问引导和启发学生学习研究数学问题的方法。在数学实验教学中教师仍然处于主要引导的地位，而学生则处于主动学习的地位。初中数学实验常分为验证性实验和探究性实验。

验证性实验是通过实验操作、观察、记录、分析等手段检验一个数学判断或者结论真伪的实验。验证性实验在学习完概念、原理之后，是对概念原理的分析和讨论，一般用于验证所给结论，实验在一定程度上是结论的附带。在实验中，教师往往是引导者、评论者。

探究性实验是通过实验来探索、回答一个对学生来说尚不知道答案的数学问题，一般只提供实验的课题。探究性实验一般安排在概念原理学习之前，为发现、提出概念原理埋下种子，探究性实验一般开始于一个有刺激性和探索性的问题，实验的过程受未知探索结果的吸引，有利于培养学生的数学情感和数学态度探究性，培养学生的兴趣，提高学习的积极性。实验中，教师往往是倾听者和提问者，教师和学生在探究实验中遇到的挑战较验证性实验多。

二、数学实验的教学实例

以人教版七年级上第二章《整式的加减数学活动——日历中的数学》为例。

1.制定合适的实验目标 实验目标的要基于《数学课程标准》，实验目标的设定要注重操作性和思考性，教学过程不仅要注重教学的结果，更要注重知识形成过程中的思维方法的培养。基于以上要求，笔者将实验目标定为学会用字母表示简单问题中的数量关系；体验运用方程解决月历中一系列问题得过程，培养抽象、概括、分析问题、解决问题的能力；同时培养合作意识和合作精神。

2.设计合理的实验过程 在正式上课之前，师生先来玩一个游戏，请学生在桌上的发的日历上面圈出自己生日的日期，并且把与这个日期相邻竖排的三个数的和告诉老师，老师有魔力知道你们的生日是哪一天。学生踊跃举手发言，分别举出和为27、9、54等例子，教师快速说出他们生日的日期分别是9、3、18。

设计意图：通过游戏的方式引入，激发学生的兴趣，体会到数学的神奇所在，利于接下来引领着学生们去揭示规律。

接着，教师带领学生先熟悉一下日历的排列规律，得出结论：横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7。

活动一：探索日历上的相邻三个数字的排列规律特征

问题1：相邻的数有哪些排列情况？

学生很快就说出了日历从行来看，是从左往右，依次递增1；从列来看，从上向下，依次递增7；从对角线来看，从左上向右下，依次递增8.从右上向左下，依次递增6。

问题2：能否用数学语言来表示规律？

学生想到了用字母来表示规律，但是如果假设字母呢？学生通过小组讨论得出结论，设中间的数为a，故得出以下四种表达方式，分别是：

（1）行：a－1，a，a＋1；（2）列：a－7，a，a＋7；（3）对角线：a－8，a，a＋8或a－6，a，a＋6。

问题3：用其他方式表示这个规律吗？

个别学生发言说，比如行可以表示为：a，a＋1，a＋2.教师接着提问觉得哪种假设未知数的方法好，学生回答设中间数为a的方式比较好，因为这样两个数与中间这个数的差距是相同的。教师总结日后设未知数有一个原则就是要使得表示其他数的时候能够简便一些。

问题4：观察一下日期中相邻三个数的和有什么规律？学生回答说是中间数的3倍，教师请学生上台验证，假设中间数为a通过计算发现无论是相邻的三个数在哪个位置，它们的和都是3a。而针对其他假设方法而已，如果假设三个数为：a，a＋1，a＋2.，那么三个数的和为3（a＋1），也为中间数的3倍，但是运算量较之前的假设方式繁琐，再次验证了假设合理的未知数的必要性。教师接着问，这个规律对于其他的日历能成立吗？同学们一致认为成立，教师总结假设未知数表示规律的优势在于能够代表一般性。

最后，教师回归引入的那个游戏，通过这个阶段学生的自主探索，同学们自己也就揭秘了上课前的那个游戏所隐藏的规律。

设计意图：日历在学生的生活中还是挺常见的，所以他们能够很快会文字表示出其中的排列规律，但是用字母来表示规律就是他们的难点了。因此实验的设计是否合理非常重要，要让学生觉得既熟悉但是又有兴趣往下探索，教师在教学过程中，精心准备问题，设问层层深入，引导学生通过小组合作，观察思考，自主探索的方式找到最佳的假设未知数的方法和解决问题的途径，为接下来的探究做好了准备。

活动二：探索日历图3*3矩形框中9个数存在哪些规律特征。

问题1：探索日历图矩形框中9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？

学生进行小组合作，自主探索。先利用实验单中的特例，通过几组计算得出，矩形框中的9个数的和等于正中间的数的9倍。

问题2：这样的方框中9个数之间的存在怎样关系？用代数式表示，并验证。

有了之前活动一的学习，学生通过观察思考，设好未知数，一般设中间数为a，那么9个数之间的关系如下：

同时，利用这个关系，学生们得出了这9个数的和是：（a－8）＋（a－7）＋（a－6）＋（a－1）＋a＋（a＋1）＋（a＋6）＋（a＋7）＋（a＋8）＝a－8＋a－7＋a－6＋a－1＋a＋a＋1＋a＋6＋a＋7＋a＋8＝9 a，所以证明了9个数的和为中间数的9倍。而且，这些规律对任何的日历都成立。

教师总结探索规律的一般思路：观察特例——猜想规律——表示规律——验证规律。用符号（或字母）表示实际问题的一般规律，并用运算来验证一般规律。

设计意图：活动二是活动一的延伸，由于有了活动一的学习，活动二中基本都是学生自己思考探索得出的，教师更多起到了提问者和引导者的作用。通过了活动一和活动二两个实验，教师总结出了解决这一类问题的一般思路方法，就将整节课得到了一个提升，使得学生日后不仅仅只会解这一个题，还能解这一类题。

活动三：探索日历中任意圈出2*2方格的四个数存在哪些规律特征。

学生根据刚才学到的方法进行小组合作探究，得出结论：图1中的四个数分别可以表示为：a，a＋1，a＋7，a＋8；图2中的四个数分别可以表示为：a，a＋1，a＋6，a＋7。

同时通过计算的出四个数中对角线两数之和相等。

最后，教师让学生自己设计其他形状含有数字规律的数框。

设计意图：这个活动是对之前两个活动的应用，主要考察学生是否会学以致用。这个规律也跟之前两个活动中的总结的规律有所不同，促使了学生拓展思维，学会自主观察探索，提升自己总结归纳解决问题的能力。最后的自主设计，使学生自己成为设计者，将学生的想象力和今天的所学知识相融合。

三、数学实验课例的几点思考

数学实验教学是初中数学教学的一个重要教学方式，教师主要起到倾听者，引导者和提问者的作用，本节课中的结论基本上都是学生自己通过动手实验得到的。数学实验在教学中的作用体现在以下方面：

1、数学实验有助于激发学生的学习的兴趣 数学实验教学一般会创设合理的教学情境，它是整个实验的前提和条件，其目的就是要快速抓住学生的注意力，激发学生学习的兴趣。在这节课中，笔者通过一个游戏的引入，游戏的背景也是今天上课的主要内容日历，接着从易到难，层层深入，让学生学会利用字母表示及证明规律，并且最后回归了游戏，整个过程学生充满着强烈的求知欲，最终自己总结出处理这类问题的一般步骤，为日后自主研究问题提供了思路和方法。

2、数学实验有助于探索知识的形成，激发学生的创新思维 传统教学过程中，往往随着时间的推移，学生的兴趣越来越弱，思维亮点越来越少。而数学实验的模式是多种多样的，可以时刻抓住契机，捕捉学生的亮点。本节课采取的小组合作实验的方式，在这个过程中笔者精心准备问题，整节课主要分成三个活动，先是大家熟悉的3个相邻数，然后是3*3矩形框中9个数，最后是跟上面两个活动规律不尽相同的2*2方格的4个数，学生通过特殊例子中数与数的关系，猜想规律，并会用字母证明。最后设置一个拓展延伸，发展学生的创新能力，拓展学生的思维。整堂课有一种浓厚的学习氛围，学生们掌握了研究问题的方法，并且能够灵活运用在其他地方，加强了知识的理解。而这些效果是传统的教学方式所不能达到的。

初中数学实验教学能较大程度的发挥学生的主观能动性，提高学生的动手动脑能力，可以开发课本的实验素材，为学生提供所学的数学知识与已有经验建立内部联系的实践机会，引导学生通过实验操作，促进学生对数学知识的理解，体验数学的价值和作用，发展学生的创新意识，最终提高学生的数学素养。