((a2+1)/(a+1))(a>-1)最小值的几种求法

2019-04-18 13:12邓波
理科考试研究·高中 2019年2期
关键词:解法

邓波

摘要:本文给出了求代数式a2+1/a+1(a>-1)的最小值的五种解法.

关键词:最小值;解法;函数单调性

1题目呈现

題目已知a>0,b>0,c>0且a+b+c=1.(I)求证:va+b→+vc≤√3;

(I)若c=ab,d=a+b,求d的最小值.

2解法探究

对第二个问题,不考虑其他(可能更简单的)解法,只考虑把d=a+b化为一个变量(或者叫做单变量)a的函数(解析式).因为a+b+ab=1,所以b(a+1)=1-a,即b=1-a/a+1所以d=a+b=a+1-aa+1这样就需考虑求a2+1/a+1(a>0)的最小值.

现在把a的范围扩大到a>-1,不影响结论及解法.

解法1(算术平均+几何平均不等式法)a2+1a+1a2-1+222a+1=a-1+a+1=-2+(a+1)+-a+1i≥,等号当且仅当a+1=-2,即a=2-1时成立.注意,当a>-1时,a,+12a+1,a+l均为正数.

解法2(一元二次方程根的判别式法)令m=a2+1a+1,变形得a2-ma+(1-m)=0,

因为关于a的-元次方程有实数解,所以△=(-m)2-4x1x(1-m)≥0,即m2+4m-4≥0,解之得m≥-2+212或m≤-2-22(舍去,因为m>0).最小值m=-2+2、2当且仅当△=0时成立,这时a=一m))士O_m-2+22:-1+v2,注意这时a恰好在a>-1这个范围.

解法3(待定系数法)a+1+1_a2+k2+(1-7)a+12ak+(1-k)≥a,+1(这里k≥0为待定系数),等号当且仅当a=k时成立.

现在令2h=1-2,

得h=一2+√/22-4x1x(-1)=-1土/2.2x1

因为k≥0,所以k=-1+√2.这时2k:=1-k:2=2(-1+√8)=-2+2、2.所以i2+1.2ka+2k=2k=a+1a+1-2+2√2,等号当且仅当a=h=-1+√2时成立。

解法4(利用函数的单调性+求导法)

令f(a)==(a>-1).a+1

f'(a)=2a(a+1)-(a2+1)_a2+2a-1(a+1)2(a+1)2

令f'(a)=0,得a=-1-2或a=-1+v2.

从函数的单调性,很容易看出极小值点a=-1+a+12,也是最小值点,最小值为f(-1+v2)=“11=a+1(-1+<2)2-+1_4-22(4-2、2)2_4、2-4=-1+2+1222=2、2-2.

其实,还可以根据函数的单调增(减)的定义来解。

解法5令a+1=x(>0),得‘a2+1a+1(x-1)2+1_x2-2x+2

=x-2+-=x+一2.22xxx2

令f(x)=x+二-2,x∈(0,+∞).22

如果x>yf(x)-f(y)=x+一2-(y+一2)=(xxy-y)-22、2(x-y)=(x-y)(1-2二-二)=(x-y)-2xxyxy2.

显然,x+二在整个区间(0,+∞)不是单调的(即全是单调增或单调减),但可以把(0,+∞)分成几个单调区间.

在1-xy2中令y=x,得1一2x~

令1一x-=0,得x=v2或x=-2(舍去).

所以区间(0,+∞)被分成两个区间(0,√2]和[v2,+∞)(为了讨论方便,允许两个区间有公共端点).

当v2≥x>y>0时,f(x)-f(y)=(x-y)(1-2<0(因为xy<2,-2>1,1-.2<0),f(x)单调减,xyxyxy所以x∈(0,V2]时f(x)≥f(2);

当x>y≥12时,f(x)-f(y)=(x-y)(0(因为xy>2,-<1,1)>xy2>0),f(x)单调增,所以x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(、2).

最小值f(2)=v2+=-2=22-2.

猜你喜欢
解法
理清思路?掌握解法
浅析高中生物遗传题解法
一类动态平衡问题的结论特点
数学中的最优化问题
高中立体几何解法解析
和式数列极限的几种求法
如何挖掘隐含条件准确解题
夯实基础,大胆尝试、猜想、反思
浅议数学选择题的几种解法
冰水混合终态问题的探析