(（a2+1）/(a+1))(a>-1)最小值的几种求法

邓波

摘要：本文给出了求代数式a2+1/a+1（a>-1）的最小值的五种解法.

关键词：最小值;解法;函数单调性

1题目呈现

題目已知a>0，b>0，c>0且a+b+c=1.（I）求证：va+b→+vc≤√3;

（I）若c=ab，d=a+b，求d的最小值.

2解法探究

对第二个问题，不考虑其他（可能更简单的）解法，只考虑把d=a+b化为一个变量（或者叫做单变量）a的函数（解析式）.因为a+b+ab=1，所以b（a+1）=1-a，即b=1-a/a+1所以d=a+b=a+1-aa+1这样就需考虑求a2+1/a+1（a>0）的最小值.

现在把a的范围扩大到a>-1，不影响结论及解法.

解法1（算术平均+几何平均不等式法）a2+1a+1a2-1+222a+1=a-1+a+1=-2+（a+1）+-a+1i≥，等号当且仅当a+1=-2，即a=2-1时成立.注意，当a>-1时，a，+12a+1，a+l均为正数.

解法2（一元二次方程根的判别式法）令m=a2+1a+1，变形得a2-ma+（1-m）=0，

因为关于a的-元次方程有实数解，所以△=（-m）2-4x1x（1-m）≥0，即m2+4m-4≥0，解之得m≥-2+212或m≤-2-22（舍去，因为m>0）.最小值m=-2+2、2当且仅当△=0时成立，这时a=一m））士O_m-2+22：-1+v2，注意这时a恰好在a>-1这个范围.

解法3（待定系数法）a+1+1_a2+k2+（1-7）a+12ak+（1-k）≥a，+1（这里k≥0为待定系数），等号当且仅当a=k时成立.

现在令2h=1-2，

得h=一2+√/22-4x1x（-1）=-1土/2.2x1

因为k≥0，所以k=-1+√2.这时2k：=1-k：2=2（-1+√8）=-2+2、2.所以i2+1.2ka+2k=2k=a+1a+1-2+2√2，等号当且仅当a=h=-1+√2时成立。

解法4（利用函数的单调性+求导法）

令f（a）==（a>-1）.a+1

f'（a）=2a（a+1）-（a2+1）_a2+2a-1（a+1）2（a+1）2

令f'（a）=0，得a=-1-2或a=-1+v2.

从函数的单调性，很容易看出极小值点a=-1+a+12，也是最小值点，最小值为f（-1+v2）=“11=a+1（-1+<2）2-+1_4-22（4-2、2）2_4、2-4=-1+2+1222=2、2-2.

其实，还可以根据函数的单调增（减）的定义来解。

解法5令a+1=x（>0），得‘a2+1a+1（x-1）2+1_x2-2x+2

=x-2+-=x+一2.22xxx2

令f（x）=x+二-2，x∈（0，+∞）.22

如果x>yf（x）-f（y）=x+一2-（y+一2）=（xxy-y）-22、2（x-y）=（x-y）（1-2二-二）=（x-y）-2xxyxy2.

显然，x+二在整个区间（0，+∞）不是单调的（即全是单调增或单调减），但可以把（0，+∞）分成几个单调区间.

在1-xy2中令y=x，得1一2x～

令1一x-=0，得x=v2或x=-2（舍去）.

所以区间（0，+∞）被分成两个区间（0，√2]和[v2，+∞）（为了讨论方便，允许两个区间有公共端点）.

当v2≥x>y>0时，f（x）-f（y）=（x-y）（1-2<0（因为xy<2，-2>1，1-.2<0），f（x）单调减，xyxyxy所以x∈（0，V2]时f（x）≥f（2）;

当x>y≥12时，f（x）-f（y）=（x-y）（0（因为xy>2，-<1，1）>xy2>0），f（x）单调增，所以x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（、2）.

最小值f（2）=v2+=-2=22-2.