2018年高考数学全国卷III第22题解法探析

王佩 赵思林 任礼

摘要：以2018年高考数学全国卷皿第22题为例，从試题呈现与简评、解题思路的分析与探究、典型错例分析等角度进行了研究。

关键词：高考数学;思路分析;典型错例分析

1试题呈现与简评

题目（2018年高考数学全国卷亚第22题）在「x=cosθ平面直角坐标系xOy中，00的参数方程为ly=sin0（θ为参数），过点（0，-√2）且倾斜角为x的直线l与00交于A，B两点.

（1）求a的取值范围;

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.

简评高中数学选修系列中的“坐标系与参数方程”，不仅给描述现实世界与数学对象提供了除直角坐标之外的手段，更重要的是，直角坐标描述几何现象或其他数学对象并不总是简单而有效的，在直角坐标、极坐标与参数方程之间，需要根据具体的数学问题做出适当的选择1.此题主要利用曲线和直线的不同形式方程，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力.涉及的知识点有圆的参数方程、韦达定理、点到直线的距离公式、中点坐标公式、勾股定理、两点间的距离公式、垂径定理、直径所对的圆周角等于90°等

2解题思路的分析与探究

2.1第（1）问的思路分析与探究

分析与探究1欲求倾斜角a的取值范围，则需结合题意考虑直线l的特点，即过点（0，-12）且与00交于A，B两点.直线l与00交于两点，等价于圆心0（0，0）到直线l的距离小于半径

根据cos20+sin20=1，得?O的方程为x2+y2=1.

①当=/2时，直线x=0与?0有（0，1）与（0，-1）两个交点，符合题意.

②当a≠-时，记tanc=k，则y=kx-2.由2<1，得k：2>1，则k>1或k<-1.√1+k2

由于倾斜角a∈[0，π），所以a∈（42）或a∈4，π2）.综上a∈（平，3π）

分析与探究2联立直线与圆的方程，欲使直线l与00交于A，B两点，需要△>0.

联立方程组[y=hx-2，lx2++y2=1，

得（1+k2）x2-2.2hxx+1=0.

欲使直线L与?0交于两点，需要△=8h2-4（1+k2）>0，即需要k：2>1，则k>1或kh<-1.

所以c∈（4，2）或c∈（/2，3/4）.

当=/2时，直线x=0与?0有两个交点，符合2题意综上x∈（-π，3π/4）

分析与探究3将直线的参数方程与圆的方程联立，可有效回避讨论=/2的情况.

由题得，直线l的参数方程为{x=tCosaly=-√2+tsina

（t为参数，a∈（434））.与?0的方程x2+y2=1联立，得t2-2√2sinct+1=0.欲使直线L与?0交于两点，需要△=8sinc2-4>0，即需要sinc2>12一，则sina22或sinax<-√2（舍去）.所以x∈（434）

分析与探究4根据题意，构造出与之相对应的几何图形，从而使问题变得直观、简捷思路易寻.

在平面直角坐标系中，作出?O的图形，过点Q（0，-√2）作?O的切线，切点分别为M、N，如图1.因|0Q|=√2，|OM|=1，所以直线loM的倾斜角为π/4.同理，直线IoN的倾斜角为3/4”.综上∈（34，4）

2.2第（2）问的思路分析与探究

欲求点P的轨迹的参数方程，应先结合题意考虑点P的特点.由题知，点P是直线l与00交于A，B两点的中点.因此点P具有两个特点：一是A，B的中点;二是0P⊥AB.下文拟根据以上特点，从点P的轨迹的普通方程、点P的含参数的坐标两个角度进行思路分析与探究

分析与探究1由P是A、B的中点，联想中点坐标公式，并结合第（1）问的分析与探究2，即可求解.

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）.联立方程组[y=hx-v2，lx2+y2=1，整理得（1+h2）x2-2√2hx+1=0.由韦22h-2x=达定理得x+x2=2，Y1+y2=2，则1+k1+k√2h，y=-2，所以点P的轨迹的参数方程为1+k2"～1+h2'2hx=1+kh？2y=1+k2，（h为参数，k>1或h<-1）.

分析与探究2因为点P是直线lop与IAB的交点，故联立直线lop与lB，求出点P的含参数的坐标，

当=/2;时，P（0，0）.当=/2时，设点A（x（，y1），B（x2，Y2），P（x，y）.由垂径定理推论知，0P⊥AB，所以hiop·kAg=-1，所以kop=-hh：^AB=-tanc

因此直线lop：y=一tana-x.

联立直线lAB，得{[y=tanax-/2，tanc-x.

整理得tanoxx-/2=一x（tanx≠0）.tanc

据此可得点P的坐标x=NEG21/2tanc-1221+tana1+tan'a

所以点P的轨迹的参数方程为{-2y=21+tanax=2，1+tan'aT3π1（a为参数，c∈（4，4））.

分析与探究3联立直线l的参数方程与00的普通方程，并结合参数t，tn，tp之间的关系求解.

设点A，B，P对应的参数分别为ts，tp，tp，将直线l的参数方程「x=tCOSa.ly=-/2+tsincπ（t为參数，a∈3T）），与00的方程x2+y2=1联立，整理得t-42√2sinct+1=0，.

则t，tg满足方程t2-22sinat+1=0.

所以lp=ty+tg=√2sinca.[x=tpCoSA，

又因为点P的坐标（x，y）满足ly=-/2+tpsina，

所以点P的轨迹的参数方程为{「x=2sinacosa，[y=-22coss2a

化简为ly=-2+v√2sin^x，[x=12.-sin2a，2（a为参数，a∈（-π3π））.

分析与探究4根据直径所对的圆周角等于90°求解.

设Q（0，-2），如图2，由0P⊥AB，知∠OPQ=90°，联想直径所对的圆周角等于90°，得点P的轨迹是以0Q为直径的圆0内的部分.

其圆心为0Q的中点（0，-2），半径为系所以

点P的轨迹方程为x2+（y+号）2=-（-_2

分析与探究5根据勾股定理，以及两点间的距离公式求解。

设Q（0，-<2），P（x，y），如图2，在RtQOPQ中，|OP|2+|PQ|2=|0Q|2.根据两点间的距离公式，得x2+y2+v2y=0.

所以点P的轨迹方程为x2+（y+22）2：

故点P的轨迹参数方程为[y=-2+22-cosB-sinβ，（β为参数，β∈（0，π））.

分析与探究6根据0P⊥QP←OP.QP=0求解，因为OP⊥QP，所以PQP=0.设Q（0，-12），P（x，y），则0P=（x，y），QP=（x，y+<2）.

从而得x+y2+v2y=0.

分析与探究7根据OP⊥QP≈kop.h：qp=-1求解.

设Q（0，-2），P（x，y）.因为hop=兰，hop=y+v2，所以-.Y+V2=-1.

从而得x2+y2+√2y=0.

分析与探究8根据点差法求出斜率kt与中点坐标（xo，yo）之间的关系求解.

设点A，B的坐标为A（x，y1），B（x2，y2），P（xo，Y）.因为点A，B在00上，所以出+y=1①，i+y名=1②，由①-②得x-x+yi-y=0.

则（x+x2）（x1-x2）=-（y+y2）（yu-y2）.

所以一x+2：YxyY2Y1+Y2x1-x2

由于k=2，而点P（xo，yo）在直线I上，故由Yo+v2直线l的方程yo=hkxp-v2可得k=20

又由于點P为AB的中点，因此_1+2n+y2=-2y

综上可得-x_Yo+2，从而得+35+v2yo=0.Yox

所以点P的轨迹方程为x+（y+-）'=一_12

所以点P的轨迹参数方程为{y=-2+2x=2Cosβ（β为参数，β∈（0，π））.

3典型错例分析

第（1）问典型错例：①不讨论倾斜角=/2的特殊情况;

②由k2>1，得-1

以上错误均反映出学生对“不等式求解”“倾斜角范围”“正切函数的周期”等基础知识掌握不牢固.未能融汇贯通地理解并应用分类讨论思想中的不重不漏原则.

第（2）问典型错例：①由tA，tp满足方程t2-2v2sinct+1=0，得ts+tg=2√2.该错误说明当学生涉及不常用的变量时，主元意识薄弱、混乱;

②由tn+tp=22，t，·tp=1，得|AB|=|t-t2|=√（t+t2）2-4t，·t2=√8sin^a-4.

所以中点P=√2sin2x-1.

参考文献：

[1]教育部考试中心.高考理科试题分析（2017版）[M].北京：高等教育出版社，2016.