对高中数学中圆锥曲线题型的解题技巧探究

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摘要：在高考数学试卷中，解析几何的分值大约占总分的20%，而直线与圆锥曲线的内容又是解析几何主要内容及高考的重点。在直线与圆锥曲线的考察中，考题的综合性强，其解题方法较多，经常在高考试卷中的压轴题。直线与圆锥曲线的内容不仅仅能够很好地了解学生对基础知识掌握程度，也可以很好表明学生综合解决问题的能力，这就要求学生不但要有较扎实基础知识还需要较强综合能力。本篇文章将从直线与圆锥曲线中常见题型进行分析，并附上相应解题技巧，使得同学们能更好把握高考数学的重要考点。

关键词：直线；圆锥曲线；高考数学；解题技巧

高考中考察圆锥曲线作为解析几何的重点内容，能够让同学们在学习圆锥曲线的同时，逐渐培养自己的三维思想以便能够有解决实际问题能力，圆锥曲线的内容在多年的高考试题中分值比例都比较大，圆锥曲线的题目中还经常与直线结合出综合题来考查学生基础知识、解题技巧，高考中考察题型多变，下面我们就先来分析下直线与圆锥曲线本文从圆锥曲线解题的思想、思维和方法等角度进行探讨，教师要让学生明白这些解题的思想、思维和方法， 需要让我们真正理解并掌握。

1.熟练掌握基础知识及常用的结论

圆锥曲线在高考中题型多变，其中包括选择题、填空题和解答题，不同的题型的结题要求不同，不是说所有的题都需要精准的写出详细的解题步骤。在选择答案的过程中，有一些常用的结论和特殊的结果可以直接被套用应用，这些结果往往是经典题型，在考试中经常出现。在平常的教学中，教师可以帮助学生总结一些经典题目答案，使我们能够迅速理解并应用于考试之中，从而提高解题效率。

这些经典题目答案主要是从圆锥曲线的一些基本性质得出的，比如说直线与圆锥曲线的特殊位置关系、两直线特殊位置关系还有点与圆锥曲线位置关系等。随着新课改的实施，在我国的高考考试中，考题中的考点越来越倾向于考查同学们的综合能力，圆锥曲线的定点、定值问题便是考查其综合能力的热点，关于这部分内容试题具有解法多样、整体思路令人耳目一新，广泛研究近几年高考数学题目可以发现，对于圆锥曲线的定点、定值问题大致能分成以下四种形式： 曲线过特定的某个特殊的点或点出现在曲线上、角或斜率是一个定值、 多个几何量运算结果是定值及直线过某定点或点在某定直线上。

2.积极培养解题思维

数学是一门严谨但又存在很多乐趣的的学科，在数学的解题过程中，不能有一丝的含糊和误差，但是，与此同时，解题时又需要学生敢于创新敢于用跳跃性的思维来考察题目。只有同学们扎实掌握了数学基础知识的同时，培养活跃的数学解题的思维，开放思路，才能在面临圆锥曲线的考察题目时能够有效快速地解决问题。

例1

（2011年天津卷）已知点A、B为椭圆2a2 + 2b2 = 1（a>b>0）的左右顶点，点P为椭圆上与A、B不重合的点，O为坐标原点。如果直线AP与BP的斜率的乘积为-1/2，试求椭圆的离心率。

设点P的坐标为（X0，Y0），则由题意可得

X02/a + Y02/b = 1

①由 A（-a ，0 ）、B（a，0）可得KAP =Y0 / X +a；KBP =Y0 /X-a。

由KAP *KBP =-1/2 可得 X2 = a2- 2 Y02将其代入式①并整理可得（a2 -2b2） Y02=0

由于Y0 ≠ 0，可得 a2 = 2b2，所以椭圆的离心率e=[（a2 - b2）/ a2 ]1/2= 21/2 / 2。

3.常见解题方法的总结

1）定义法

定义（Definition）是透过列出一个事件或一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义；在数学里面，定义是一个知识点的本质属性，有关这个知识点的任何公式定理都是由定义推导出来的，因此，对定义应用的熟练程度可以决定学生解决有关这个知识点的问题的速度及准确率。

例2

点P在椭圆X2/25+ Y2/ 9 = 1上，P到该椭圆右准线的距离为5/2，求点P与左焦点的距离。本题考查了椭圆的性质（准线、焦点、对称性、离心率等）和椭圆的第二定义。

由题意可得椭圆的准线方程为X = 25/4，离心率e= 4/5。根据椭圆的对称性知点P到该椭圆左准线的距离为10。由椭圆的第二定义得e=|PF1|/10 = 4/5，所以点P与左焦点的距离为|PF1|=8。

2）参数法

例 3

已知向量 a = （X ，31/2 Y），b = （1，0），且（a+31/2b）。

（1）求点 Q（ X，Y）的轨迹C的方程。

（2）设曲线c与直线 Y = KX + M相交于相异的2点M、N，又点A（0，-1 ）， 当| AM|=|AN|时，求实数 m 的取值范围 。

（1） X2/3 + Y2 = 1（过程略）

（2）由 Y = K X + M ，

X2 / 3 + Y2 = 1

得

（ 3K2 + 1 ） X2 6 MKX + 3（M2-1） = 0

又直线与椭圆相交于相异的2点，所以

Δ = 12（ 3K2 + 1 - M ）>0 ①

当 K ≠ 0时，设弦 M N的中点为 P（X P ，Y P），M、N的横坐标分别为XM 、XN， 则XP=（XM+XN2）/2=-3mk /

3k2 + 1 ，从而yp = m / （3k2 + 1），kAP=-（-m + 3 k2 + 1）/ 3 m k 。又|AM|=|AN|，所以AP⊥ MN ，所以 2m =3 k2 + 1 ②

由式 ② 得m > 1/2， 从而 2m >2，所以 0﹤m﹤2 ，

所以 m ∈ （1/2 ，2） 。 当 k = 0 时，|AN| = |AN|， 则 AP ⊥ MN，m2 ﹤ 3 k2 + 1 ， 解得-1 ﹤ m ﹤ 1 。综上，当 k ≠ 0 时，实数 m 的取值范围是（1/2 ，2 ） ；

当 k = 0 时， 实数 m 的取值范围是（ -1 ， 1 ）。

4.结语

通过考察多年以来的高考数学试题可以发现，高考试题中有关圆锥曲线的题目所占分值一直比较稳定，而且题目考察的综合性以及对实际问题非考察越来越多。圆锥曲线中蕴含着丰富的数学思想方法，也就是数形结合思想，是高中数学解析几何重点考察内容。本文在归纳总结直线与圆锥曲线知识点的考查特点基础上，结合使用相应数学思想方法，给出直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析，为同学们解答此类题提供方法借鉴。

[参考文献]

[1] 钱坤.新课改背景下圆锥曲线高考试题的考查特点分析[D].赣南师范学院，2013.

[2] 陈发志，蔡小雄，张金良.2011年高考数学试题分类解析（十）-圆锥曲线与方[J].中国数学教育，2011，Z4：79-85.

[3] 凌敏华.直线与圆锥曲线的常见题型及解题技[J].数学学习与研究，2016.

（作者单位：明德中学，湖南 长沙 410000）