变式教学在初中数学教学中的应用研究

孙寿春

[摘  要] 变式教学能够帮助学生更好地发现问题的形成过程，解释数学问题变化的本质，提高学生的数学分析能力. 文章以初中数学例题和习题部分的变式教学为例，对变式教学在初中数学教学中的应用进行了分析.

[关键词] 变式教学;初中数学;应用研究

变式教学在我国使用已久，是一种较为有效的教学手段，尤其是在数学教学中，数学能够构成体系的零散知识较多，题目形式变换多样，通过题海战术的方式也难以让学生穷尽所有数学题型. 有些时候，教师对学生讲解完某一问题后，稍微一变化题目，学生就又不知道如何下手，使得整个数学教学的效率不高. 变式教学能够帮助学生将相关知识体系化，掌握数学题目的本质，提高学生解决问题的能力.

变式教学在初中数学教学中的应用原则

首先，变式教学的应用要遵循目的性原则，教师选择变式要有明确的目的性，不能够随心所欲地进行变式. 常见的变式的目的有让学生掌握相关的概念，让学生深入了解相关原理和性质的应用情况，教师要根据教学的需要，有目的性地进行变式教学.

其次，变式教学的应用要遵循主体参与性原则，要体现出新课程改革理念中学生为本的教学理念，要让更多的学生参与到变式教学中来. 教师可以引导学生进行自主变式，一方面增加学生对变式教学的参与度，另一方面也提高学生的创造能力.

第三，变式教学的应用要遵循反思性原则，学生能够通过变式问题的解决后，对问题进行反思，寻找问题之间的联系，反思自己在解题过程中的得失. 一方面，能够反思变式和原式之间的联系;另一方面，还要能够反思原式和变式的解题方法之间的联系.

第四，变式教学的应用要遵循发展性原则，变式教学的设计要以有利于促进学生的发展为前提，从教学方法和教学内容的选择及教学组织形式的设置上，要适合学生的发展.

变式教学在初中数学教学中的应用实践

1. 例题部分变式教学应用实践

该章节以“图形的相似”章节的例题为例，就变式教学在初中数学教学中的应用进行分析.

例1  如图1，一工作小组要测量旗杆的高度，一名工作人员站到旗杆影子的顶端，另一名工作人员测量第一名工作人员的影子的长度，同时，第三名工作人员测量旗杆影子的长度，然后再通过测量第一名工作人员的身高来求出旗杆的高度，这样的操作对吗？谈谈你的看法.

解题思路  对于这类实际问题，我们可以将它抽象成图②的形式，这样就能够非常明了地寻找解题的思路. 根据题目中的已知条件，BC，AC，DC的长度都已经知道，那么就可以根据相似性求出ED=.

变式1 为了能够测量出旗杆的高度，现在需要将一根标杆直立在地上，然后让一名工作人员站在适当的位置上，使得旗杆的顶端、标杆的顶端和工作人员的眼睛处在一条直线上，然后另外一名工作人员测量出观察者脚到标杆的距离、观察者的身高和标杆的高度，这样是否可以顺利求出旗杆的高度？谈谈你的看法.

问题分析  我们可以根据题意将现实问题转换为数学问题，图形如图②所示，其中已知条件就转化为FG，GK，GH和HI.

解法1 过G点作GL平行于FJ，交HI和JK于点M和点L，然后根据相似性求出KL=，最终求出KJ=JL+KL.

解法2 过F点作FL∥GK，交HI和JK于点M和点L，根据相似性求出JL=，最终求出KJ=JL+FG.

解法3 分别延长JF，KG使其延长线交于点T，根据相似性可以得出=，=，化简可以得出=.

变式2 一组人员要对旗杆进行测量，到达测量场地后发现，旗杆的下方还有两层台阶，一名工作人员站在旗杆远处，另一名工作人员测量旗杆和台阶的投影和第一名工作人员的影子及身高，那么这样是否能够测量出旗杆的高度？谈谈你的看法.

问题分析  我们可以根据题意将现实生活问题转化为图②、图③所示的数学图形问题. 将DE延长，与CL的延长线交于点M，那么就可以得到两个相似的三角形，通过测量我们可以得知BC，AB，FM的数值，再通过相似性质就可以得出=，将所测量的数据代入上式中可以得到DM的值，最终DE=DM-EM.

变式3 一组人员要对旗杆进行测量，当到达现场后发现旗杆的影子有一部分被墙面挡住了，他们就测量了旗杆底部到墙根的距离，和墙上影子顶端到墙根的距离. 同时，选择一名工作人员站在一边的位置，测量出工作人员的身高和影子. 根据这样的测量方式能够求出旗杆的高度吗？谈谈你的看法.

问题分析  我们可以根据题意将现实问题转换为数学问题，图形如图②、图③所示，通过测量我们可以得到AB，BC，DE，EF的数值. 过D点作DH∥EF，交GF于点H，根据相似性就可以求出GH=，进而求出GF=GH+HF.

变式4 一组人员要对旗杆进行测量，当到达现场后发现旗杆的影子有一部分落在了倾斜角度为30°的斜坡上，选择一名工作人员站在一边的位置，测量出工作人员的身高和影子，同时测量出旗杆影子的顶端落在斜坡上的位置离坡脚的距离和旗杆底部离坡脚的距离. 根据这样的测量方式能够求出旗杆的高度吗？谈谈你的看法.

问题分析  我们可以根据题意将现实问题转换为数学问题，图形如图②、图③所示，其中我们通过测量可以得知AB，BC，GF，EF的数据. 过G点作GH⊥EF交EF的延长线于点H，GI⊥DE交DE于点I. 根据相似性质就可以得出=，又因为△GHF是30°的直角三角形，所以GH=GF，FH=GF，然后求出DI，最终求出DE=DI+IE.

通过对课本例题的变式教学，学生能够认识到题目的发生和发展的过程，有助于他们提炼题目精华，寻找“不变”本质，提高应变能力.

2. 习题部分变式教学应用实践

习题是帮助学生掌握所学知识，提高知识应用能力的有效训练方式，通过对习题的变式练习，能够有效提高学生练习的效果. 本章节以“勾股定理”部分的课后一个练习题为例，变式教学的应用进行分析.

例2  请根据所学的勾股定理的相关知识，探究字母所代表的正方形的面积关系，并证明自己的想法.

变式1 请根据所学的勾股定理的相关知识，探究字母所代表的直角三角形的面积关系，并证明自己的想法.

变式2 请根据所学的勾股定理的相关知识，探究字母所代表的等边三角形的面积关系，并证明自己的想法.

变式3 请根据所学的勾股定理的相关知识，探究字母所代表的底角为30°的等腰三角形的面积关系，并证明自己的想法.

通过这三个变式练习，让学生去思考以直角三角形三条边对应的怎样的三角形满足A+B=C的形式？

变式4 请根据所学的勾股定理的相关知识，探究字母所代表的正六边形的面积关系，并证明自己的想法.

变式5 请根据所学的勾股定理的相关知识，探究字母所代表的正五边形的面积关系，并证明自己的想法.

引导学生进行思考：以直角三角形的三条边为边长的什么样的图形的面积，能够满足A+B=C的关系式？

通过对一道课后练习题的变式，让学生探究直角三角形三条边所对应相似图形的面积关系，最终总结出“直角三角形三条边上对应的相似形中，两条直角边对应的图形面积之和等于斜边上对应的图形的面积”. 围绕这一规律，我们就可以让学生掌握这一类的问题，当学生再遇到相似的問题时，就能够快速地完成求解.

小结

变式教学能够帮助学生认识数学问题的本质，了解数学问题变化的过程，把握数学问题的本质，提高自身数学问题的分析能力. 同时，数学教材作为数学教学的主要依据，是结合教学规律进行编写的，符合学生的认知特点，教师要围绕教材开展变式教学，提高初中数学教学的效果.