从“三个理解”看“二次根式的性质（第2课时）”教学

张伟

[摘  要] 通过对教学设计和课堂的观察，文章作者发现两位教师在同课异构课中对教学起点的设置、探究过程的层次、认知策略的导向都有不同的思考. 文章主要从“三个理解”方面去分析两位教师的教学设计，分析其不足与优点.

[关键词] 二次根式;教学设计;理解数学;理解学生;理解教学

背景简介

2017年12月，笔者有幸在师徒结队活动中聆听到两位教师的同课异构课——浙教版数学教材八年级下册“二次根式的性质”第2课时，虽然教学内容相同，但他们的教学风格不同，有不同的呈现方式，也存在值得商榷的地方. 第2课时是学生在使用第1课时的性质时出现“知识冲突”，无法运用第1课时的知识来解决实际问题，进而继续探究新的方法，进一步经历二次根式性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法. 同时要让学生了解“最简二次根式”的概念，结合二次根式的性质化简二次根式. 下面笔者从理解数学、理解学生、理解教学三个方面对这两节课进行对比分析，并谈谈个人的几点思考.

案例简述

1. 简述A教师的教学流程

A教师上课时先让学生计算两个式子，回顾上节课的内容，接着进行新课引入：“积的乘方等于各个因数乘方的积，商的乘方等于分子的乘方除以分母的乘方的商[1]”，那积的算术平方根和商的算术平方根又会有什么结论？这节课我们就来探索这一新知识.

例1  请完成下面的计算，并根据你的计算结果猜想结论.

（1）=_________，×=________;

（2）=_________，×=________;

（3）=_________，×=________.

通过上面的三组计算，师生共同归纳出“积的算术平方根等于算术平方根的积”这一结论，并用符号表示：=·（a≥0，b≥0）.

例2  请完成下面的计算，并根据你的计算结果猜想结论.

（1）=____________，=________;

（2）=___________，=________;

（3）=__________，=________.

通过上面的三组计算，师生共同归纳出“商的算术平方根等于分子的算术平方根除以分母的算术平方根的商”这一结论，并用符号表示：=（a≥0，b>0）.

接著，教师从例2中得出“最简二次根式”的概念，并给出例3.

例3  化简.

（1）=________;

（2）=________;

（3）=________;

（4）=________;

（5）=________;

（6）=________.

接下来，A教师对a，b的符号进行了特别说明，提出假如a<0，b<0，应如何处理，最后进行总结、反思.

……

2. 简述B教师的教学流程

师：我们前面已经学过两数乘积的算术平方根，下面请大家计算的结果.

生：用竖式计算结果得出根号内两数的乘积为33124，然后就不知道如何计算算术平方根了.

师：我们发现当两数乘积比较大的时候，不能方便地求出算术平方根，有没有较为简便的方法求出结果呢？这节课我们就来探索、研究一下.

（教师板书课题）

师：计算下列三组式子.

（1）=______， ×=______;

（2）=_________， ×=______;

（3）=______， ×=______.

观察左、右两边的式子，你有怎样的猜想？你能用字母表示出你的猜想吗？（学生根据两边的结果，发现两边相等）

师：于是我们可以猜想“积的算术平方根等于算术平方根的积”这一命题，即=·（a≥0，b≥0）. 但这仅仅是我们通过三组式子得到的猜想，那这一命题是否在一般情况下都成立呢？我们还需要进一步验证.

（接下来B教师直接板书证明过程）

师：通过严密的推理论证，我们终于可以肯定这一命题是正确的. 同时我们也总结出了探索新事物的一般方法：取值→观察→猜想→验证. 这也是我们以后探索新事物的一般方法.

师：那“商的算术平方根等于算术平方根的商”吗？（B教师给出三组数据，并要求学生自己动手进行计算和验证）

接着B教师给出了例1：（1）=______;（2）=________;（3）（s≥0）=______;（4）=______. 先处理前三道小题，并得出“最简二次根式”的概念，然后处理第（4）小题. 随后布置了四道类似的小题要求学生动手计算.

接下来，B教师讲解了例2：（1）=______;（2）=______;（3）=______.

……

案例评析

1. 从导入部分看教学起点设置的合理性

A教师先让学生回顾了“积的乘方等于各个因数乘方的积;商的乘方等于分子的乘方除以分母的乘方的商”这一结论，然后类比提出：积的算术平方根和商的算术平方根又会有什么结论？揭示本节课的探究方向，并板书课题.

B教师首先让学生回顾了第1课时二次根式的性质，随后计算两个较大数乘积的算术平方根，引导学生运用第1课时的性质去计算，结果发现计算的过程很艰辛，随后提出：有没有较简便的方法来解决这一类问题呢？猜想本节课的学习内容，并板书课题.

对比评析  A教师在知识引入部分先回顾两数积和两数商的乘方运算，为探索新知识做铺垫，但乘方运算不是本节课的知识生长点，只需做简单回顾，不需要刻意让学生去计算，因为这样的操作可能会造成“负迁移”，使学生在“入戏”部分削弱学习兴趣. 而B教师虽然也是复习引入，但复习的知识点与A教师有所不同. B教师在知识的生长点处创设问题情境，容易激发学生继续探究的兴趣. 奥苏贝尔的有意义学习理论认为：创设一定的“问题情境”，能够使学生对知识本身产生兴趣，进而产生认知需要，产生一种要学习的倾向，从而能够激发学习的动力[2]. 由此可见，B教师找准了二次根式性质的“生长点”，使得探究引入过程自然，比A教师设计的立意更高、更合理.

2. 从新知构建看探究过程的层次性

A教师在新知构建环节，用“四环节”完成了性质的探究过程.

第一环节，计算结果，初步感知. 给出三组“积的算术平方根”的计算题，这三组数都比较小，而且都是完全平方数. 学生较轻松地完成了计算，随后A教师让学生观察每一组式子，用文字语言叙述猜想的结论. 最后A教师用符号语言归纳出“积的算术平方根等于算术平方根的积”这一结论. 第二环节，再给出另外三组“商的算术平方根”的计算题，按照第一环节的操作流程展开课堂教学，最后也用符号语言归纳出“商的算术平方根等于分子的算术平方根除以分母的算术平方根的商”这一结论. 第三环节，质疑再验，辨析新知. 教师质疑：对于刚才我们得到的结论，为什么a≥0，b≥0或b>0呢？那对于负数是不是就不能用这个性质了呢？第四环节，分析要点，归纳反思. 要求学生从中注意性质2（即积的算术平方根等于算术平方根的积，商的算术平方根等于分子的算术平方根除以分母的算术平方根的商）的适用条件. 若遇到两负数积的算术平方根时，应如何处理，揭示出“符号”在性质2中的必要性.

B教师在新知构建环节，也用“四环节”完成性质的探索过程.

第一环节，计算结果，初步感知. 教师给出三组有代表性的式子（包含完全平方数和非完全平方数），要求学生完成计算结果. 因为前两组都是完全平方数，学生容易完成，发现第三组式子需要用到计算器，于是B教师从电脑中调出计算器演示给学生看. 第二环节，观察形式，猜想论证. 引导学生猜想、归纳出结果，并用符号语言归纳出“积的算术平方根等于算术平方根的积”这一猜想. B教师提出：那这一命题是否在一般情况下都成立呢？我们还需要进一步验证. 于是教师依据算术平方根的概念和记法把论证过程演示给学生看，这样便把这一猜想上升为结论，成为性质. 第三环节，回顾反思，提炼方法. 教师引领学生回顾刚才的探索过程，总结出探索新事物的一般方法：取值→观察→猜想→验证，其实也是从特殊到一般的过程体验. 第四环节，类比模仿，自主探究. B教师用事先设置好的三组“商的算术平方根”的式子，让学生类比刚才的探索路线，自主探索，得出相应的结论.

对比评析  在新知的构建过程中，两位教师都是以问题引领，让学生有充足的时间、充分的机会经历从特殊到一般的探究过程. 不同的是，A教师引导学生经历了“计算→观察→猜想→结论”这一过程;B教师先让学生经历“计算→观察→猜想→验证→结论”这一过程，然后利用商的算术平方根（类比积的算术平方根）深化、巩固了完整的探究过程. 过程中两位教师都运用信息技术手段辅助教学.

纵观性质教学的过程，教师的教学设计不仅要有深度，还要有广度;学生参与教学的过程，不仅要明“法”，而且要明“理”，应在掌握“四基”的基础上，提高学生的能力，使数学理性精神在学生身上得到体现[3]. 但也存在商榷的地方，如A教师在引导学生计算出“积的算术平方根”后，猜想出这一结果，并直接作为结论（性质2）. 从性质教学的完备性来看，缺乏必要的证明难以让学生信服. 执教者注重引导学生探索，但最后没有回归到理性层面上来，显得不够厚重. 再者，在探索出“积的算术平方根”后，又紧接着来探索“商的算术平方根”，让学生继续重复前面的探索过程，显得累赘. B教师引导学生探究出性质后，对性质进行了简短、必要的证明，这里便很好地找准了“契机”——让学生体会数学的严密性. 但该教师在总结探索新事物的方法时，归纳的关键词还不够贴切、形象、生动，学生未必能真正理解这一过程，使得这一“迁移”落实不到学生内心深处，凸显不了育人的功能.

3. 从性质运用看认知策略的导向性

A教师在基础训练部分设置例1（积的算术平方根）、例2（商的算术平方根），并从例2中得出“最简二次根式”的概念，最后运用性质及最简二次根式处理例3……

B教师在基础训练部分，按照课本中的例1来设置（只不过将例1（3）改成含字母的式子）. 然后先讲前三个小题，进而归纳出“最简二次根式”的概念，再处理第（4）小题……

对比评析  两位教师设计的基础训练都来自课本中的练习题，认知策略导向不同、跨度不同. A教师设置的例1从简单入手，是巩固性质学习的有利“契机”，然后从例2的题型中归纳出“最简二次根式”的概念，符合知识的生长过程. B教师则先通过三个小题，白描出“最简二次根式”的概念，再用这个定义处理第（4）小题，这样的设计不符合教材的意图，使得“最简二次根式”概念的得来不够自然，有牵扯之嫌.

几点思考

1. 理解数学

从教材呈现的内容来看，本节课有三部分的内容：一是经历类比、发现、归纳出二次根式的积和商的性质的过程;二是要特别关注关系式中的字母的取值范围;三是最简二次根式的直观标准及二次根式的化简步骤. 那么，本节课中蕴含着哪些数学知识和思想方法？首先，该节课要让学生看到“二次根式”的影子（形式），二次根式的本质是数的算术平方根，这也是培养学生“在系统一致”的理念下进行学习. 其次，本节课的学习是从第1课时的性质入手，归纳、类比出性质，体现了“逻辑连贯”的理念. 再者，这节课的重点是“积和商的算术平方根的性质”，它的本质是什么？学生在第1课时中已经初步认识了“（）2=a（a≥0）及=a”，也就是说，在第1课时我们见到根号里的数都是单独一个数或一个完全平方式，但在第2课时碰到了根号里有两个数（或多个数、式），此时如果先将根号里的数（式）算出最后的结果，会导致最终算术平方根的得出苍白无力，凸显不了数学的灵动美，为此将根号里设置两个数（式），通过类比，归纳性质. 因此，它的本质就是“积或商的算术平方根等价于形式类同的算术平方根”.

2. 理解学生

本节课伊始，课本中呈现出四组式子，可以看出第（2）（4）式子难以计算出最终结果，是否放弃这组式子，另辟蹊径呢？这四组式子囊括乘、除的多种数据（完全平方数、非完全平方数）的计算，其核心是让学生从慢教育的过程中体会积的二次根式的性质，然后类比出商的二次根式的性质. 学生是在学完性质1后来学习性質2的，虽然已有一定的初步经验，但是还是难以用较为简单的方法来解决这些问题. 笔者认为B教师设置得较为合理. 通过三组积的二次根式的式子（包括完全平方数、非完全平方数），猜测、归纳出积的二次根式的性质，然后再类比出商的二次根式的性质. 同时B教师总结出研究新事物的一般步骤：取值→观察→猜想→验证→结论，这一过程能较好地培养学生学习数学的理性精神. 另外，在教学中，教师要根据初中生的认知水平，从简单到复杂，从特殊到一般地研究探索问题. 教学中一方面需要学生动手实践，另一方面可以借助“计算器”快速、准确地得出结果并帮助学生直观地观察结果，这样的操作有利于学生发现结论，从而突出重点.

3. 理解教学

章建跃博士认为：理解教学，当然是对数学教学规律的认识和教学机智的敏锐水平. 理解数学、理解学生是把数学教好，发挥数学的育人功能的前提条件，但如果在理解教学上不到位，同样不能达到目的[2]. B教师通过问题引导学生独立思考，在自主探究、合作交流中感悟、体会“上位”知识过程，积累丰富的数学活动经验. 新课程倡导民主、探究、和谐的课堂，有放就有收. “放”是为了彰显学生的主体地位，培养学生的动手实践、勇于创新学习品质;“收”则是为了体现教师的主导作用，是教师驾驭课堂的能力体现. B教师没有按照课本那样设置四组小题，而是先组织学生计算“积的算术平方根”，然后学生类比探究“商的算术平方根”，这种收放自如的形式，极大地激发了学生的求知欲望，让学生在学习的过程中，重过程，轻形式. A教师在设置例题时，能很好地遵从“循序渐进”原则，让学生在不知不觉中进入下一环节，这也是A教师的教学艺术所在.

参考文献：

[1]范良火.义务教育课程标准实验教科书[M] . 浙江：浙江教育出版社，2012.

[2]潘小梅. 基于“三个理解”，设计凸显过程的教学[J]. 中学数学教学参考，2012（11）：19-22.

[3]赵庭标. 从“三个理解”看“反比例函数图像和性质”教学[J]. 中学数学教学参考，2016（12）：13-15.