解析一元一次方程认知困难

黄翠萍 李昌勇 李胜

[摘  要] 方程作为代数学的核心，是整个中学阶段的教学重点之一. 文章以北师大版四类一元一次方程应用题组成调查问卷进行分析，得到四类应用题基本思想的描述和水平划分，并基于此给出教学顺序的建议.

[关键词] 一元一次方程;基本思想;抽象;推理;模型

代数的核心思想是方程，一元一次方程则是最简单的代数方程，应用一元一次方程解决应用题则是中学数学解决实际问题的开端. 在整个一元一次方程解应用题的过程中，学生通过数学活动，可以体会到符号化和模型化的思想，以及类比、化归、归纳等数学思想方法.

本文旨在借鉴《普通高中数学课程标准（2017版）》中数学学科核心素养的水平划分标准，分析学生对于应用一元一次方程解应用题存在的认知困难，探讨学生在解题过程中需要解决的认知障碍，以便在数学的基本思想基础之上，提供有效的教学建议.

数学的基本思想

史宁中教授指出，数学思想方法和数学基本思想是不同的，数学思想方法主要是指等量替换、图形结合、递归法等方法;而数学基本思想相较于数学思想方法更具有一般性，它是在数学发展的过程中必须依赖的一些思想，也是学习数学的人所共同具有的一些思维特征. 这些特征可以指导数学的学习，并且使学生的学习过程更具有思考性，而不是盲目地“吸收”.

数学基本思想可以分为三类：抽象、推理、模型. 数学是和实际生活紧密联系在一起的，运用数学基本思想能够从实际生活中的数量关系和图形关系抽象得到概念和符号，从而得到我们需要研究的相关对象. 数学的发展最主要就是靠推理，推理又分为演绎推理和逻辑推理，推理的形式是多种多样的，包括但不限于计算、证明和解题. 模型则是将我们的数学和实际生活应用紧密结合在一起的桥梁，模型并非是用来解决某一个问题，因为模型中参数是可变换的，所以模型是能够用来解决某一类问题的.

数学基本思想是不能通过老师直接传授给学生的，而是需要学生在老师的引导下主动参加数学活动，经过探究、思考、分析、抽象、概括等过程，亲历发现问题、分析问题、解决问题的思考过程，才能感悟出相应的数学基本思想. 学会用数学的眼光来看待问题，用数学的思维来思考问题，用数学的语言来表达问题.

“应用一元一次方程”的认知

困难

笔者以教材四道题为测试卷内容，对测试结果进行统计分析，得到教材中四道应用题思想水平的描述与水平划分，同时对其中一些同学进行访谈，得到四类应用题认知困难的具体分析.

1. 四类应用题基本数学思想的描述与水平划分

（见表1）

2. 问卷分析

本文为了分析七年级学生学习一元一次方程的认知困难，笔者选择了课本中的四道例题组成调查问卷. 选择北师大版2013年6月第2版教材七年级上册第三章第3、4、5、6节内容，一共是四种类型的应用题，按照课本编排顺序，分别是“水箱变高了”“打折销售”“‘希望工程义演”“追赶小明”.

本次有效测试卷一共47份，在学生进行测试时，并没有强制要求学生必须选择方程进行计算，所以是学生自己选择算式或方程算法.

“水箱变高了”，正确的一共有33人，其中有23人選择了算式做法;在错误的试卷中，有9人选择了算式做法，3人选择了方程做法，2人没有做这道题.

“打折销售”，正确的一共有40人，其中有7人选择了算式做法;在错误的试卷中，有6人选择了方程做法，1人没有做这道题.

“‘希望工程义演”，正确的一共有47人，其中有5人选择了算式做法.

“追赶小明”，正确的一共有40人，其中有31人选择了算式做法;在错误的试卷中，有4人选择了算式做法，3人没有做这道题.

我们在进行统计后，对一些学生进行了访谈，以此来探讨学生对一元一次方程的认知困难.

3. 四类应用题认知困难的具体分析

（1）水箱变高了

在学生们应用一元一次方程解应用题的过程中，对于学生来说最难掌握的就是寻找等量关系. 而在“水箱变高了”这一类型应用题当中，由于题目本身就存在一个不变量，所以对于学生来说是比较容易设立等量关系的. 因为学生很多的学习开始于直观活动，更多的是依赖于自己已有的活动经验，所以第一个应用题的难度设置不高.

本类型题目更多的是与面积和体积等结合在一起，其中的等量关系都是学生已经熟知的数学公式. 属于“一个对象和一个关系”的题目，所以这类型题目中出现的条件与数据并不会太多，对于学生的阅读能力也并不做过多的要求，所以学生在认真阅读审题的基础上，抓住题目中的不变量，以此为依据建立等量关系列方程，就可以比较容易地解答此类题目.

但是由于这类题目一般涉及体积和面积等相关公式，所以对于有些基础比较薄弱的学生，即使可以理解方程的基本思想，找到等量关系，可能也没有办法列出正确的方程.

（2）打折销售

打折销售是我们生活中比较常见的问题，是和我们的实际生活息息相关的. 与此类题目有关的变量比较多，涉及进价、成本、原价、售价、标价、打折、降价、利润、利润率等相关概念.

此类问题属于“一个对象和若干次变化”，所以打折销售虽然是我们生活中比较常见的问题，但由于学生实际上是缺少相应的生活和购物经验的，因此在解决此类型题目的时候，学生没有办法理解打折销售问题中的相关概念. 例如学生会将“利润”和“利润率”的概念混淆，“卖价”和“标价”不能明确区分.

因为本类型题目中概念比较多，且很多概念具有极高的相关性，概念与概念之间都是经过变化而得到的，所以学生很难将题目抽象成数学问题，导致学生很难准确地找出各相关变量之间的关系，无法推理得出等量关系. 同时由于打折销售和实际生活相关，所以在一些具体的实际关系中，有些等量关系还有一定的隐蔽性.

打折销售由于涉及的相关变量比较多，所以此类题目一般比较冗长，对学生的数学阅读能力要求比较高，学生要在阅读的过程中提取自己所需的变量，然后依据已有变量和题目所求来确定等量关系. 因此，学生在做此类题型时，比较大的困难就是：读不懂题目，找不到等量关系.

（3）“希望工程”义演

此类型属于“两个对象和两种关系”的题目，在应用一元一次方程解此类应用题的过程中，学生虽然比较容易找到这“两个对象”，能够将题目抽象成数学问题，但是学生却并非能够轻易找到并且辨析“两种关系”，所以学生还存在的一个比较大的困难就是无法推理得出其中的等量关系. 课本在解决此类型题目时，就提供了一种更简洁的方式——“列表格”，让推理变得相对简洁容易一点. 所以对于此类题目比较冗长的应用题，需要学生在进行数学阅读之后提取其中的相关变量制作表格，然后根据已知变量和题目所求得到等量关系.

（4）追赶小明

虽然同学们已经在小学就接触过时间、路程、速度之间的关系，但是到初中之后，应用一元一次方程解决此类题型时，学生往往不能找到相应的模型来解决问题.

此类题属于“两种对象和一个关系”的应用题，虽然学生能够轻易找到两个对象，但是由于题目中涉及时间、路程、速度这三种“关系”，所以学生并不能轻易找到两个对象之间所对应的关系，很难将题目转化为一个数学问题.

所以此类题型引入了——“线段图”的方式来帮助学生建立等量关系. 但是学生在阅读题目的时候，由于题目本身的复杂性，所以很难轻易抽象出其中的变量，更不要说画出与之相对应的“线段图”，这也就导致了学生没有办法使用相应模型来解决追及问题.

选择算式方法但最后答案错误的同学中，有一部分是只能根據现有的时间、速度、路程这三者之中的两个条件求出其中一步，但接下来要做什么，可能学生并不知道. 所以在测试中，有学生做了一两步就没有办法继续进行下去.

教学顺序建议

经过对测试结果的分析和学生的访谈，再结合四种应用题达到的抽象、推理、逻辑方面的层次水平，可以将其按照学生接受程度排序为：水箱变高了、“‘希望工程义演”、打折销售、追赶小明.

结合数学基本思想和四种应用题在抽象、推理、逻辑的水平划分，我们可以分析得到，“水箱变高了”的抽象、推理、建模均达到水平一，对学生本身知识要求并不太高，所以教材将其放在首位进行学习.

在“打折销售”中，抽象、推理和建模均达到了水平二，对于学生的整体知识水平要求比较高. 而“‘希望工程义演”的抽象达到水平一，推理达到水平一，建模达到水平二，相对于“打折销售”要求和难度稍低一点，所以老师在讲授这两类应用题的时候，可以先讲授“‘希望工程义演”，再讲授“打折销售”，降低学生的学习难度，让学生的学习更有“梯度”.

在“追赶小明”中，要求学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模均达到水平二，但是由于“追赶小明”中涉及的变量包括速度、时间和路程，变量比较多，且有可能涉及多个对象之间的变量，不利于学生分析. 所以可以放在最后进行教学.

所以建议老师的教学顺序可以为：水箱变高了、“‘希望工程义演”、打折销售、追赶小明.