基于整体观念的单元复习课设计

童卫华

[摘  要] 从单元整体出发设计出学习资源丰富，思路清晰的教学问题，有利于学生加深对知识、技能、方法的理解和掌握，有利于学生完善认知结构，提升解决问题的能力，有利于满足不同学生对数学学习的不同需求.

[关键词] 整体观念;复习课

“复习课难上！”这是许多教师发出的感叹. 怎样有效地进行复习，让学生轻松、愉悦地对知识进行整理，使之系统化、条理化，同时掌握解决某类问题的数学方法或思维方式，是老师们要经常思考的问题. 下面笔者就以浙教版七年级下册“二元一次方程组”单元复习为例，探讨单元复习课设计.

教学目标

1. 通过复习，进一步了解二元一次方程（组）的概念，理解二元一次方程解的不唯一性.

2. 能用合适的方法解二元一次方程组，体会转化思想.

3. 通过解决实际问题，培养学生独立思考与合作交流能力，提升学生的核心素养.

教学重点难点

1. 重点：运用合适的方法解二元一次方程组.

2. 难点：利用方程组解决实际问题.

教学过程设计

活动1：回故旧知

1. 下列方程中，是二元一次方程的是（     ）

A. 3x-2y=4z    B. 6xy+9=0

C. +4y=6 D. 4x=

2. 下列各组方程是二元一次方程组的是（     ）

A. xy=2

x-2y=-2    B. x=2

x-2y=-2

C. x-y=2

x+y2=-2     D. xy=2

x-2y=-2

3.下列各组数据不是方程x+3y=9的解的是（     ）

A. x=3

y=2         B.x=5

y=

C. x=6

y=1          D. x=4

y=2

4. 二元一次方程組2x+y=5，

x-y=1 的解是（     ）

A. x=-1

y=2      B. x=1

y=-2

C. x=2

y=1         D. x=1

y=2

5. 关于x，y的方程组x+cxy=2，

xa+2-（b-4）

yb-3 =-2是二元一次方程组，则a-b+2c=______.

6. 用合适的方法解下列方程.

①x=2-3y，

3x+5y=2;     ②3x-2y=7，

5x+2y=1.

设计说明  （1）通过6个小题系统地梳理本单元的基本概念：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程的解、二元一次方程组的解，以及怎样解二元一次方程组，有利于学生从整体上把握本单元的基本内容、基本方法.

（2）通过学生的交流，力图使学生更清晰地认识二元一次方程解的特点：有无数多组. 一般的二元一次方程组的解只有一组，是通过消元法来解，体现了数学的转化思想，变二元为一元，化未知为已知. 具体的解法依赖于方程中系数的特点，以及方程的结构特点. 并为后续的学习做好铺垫，可以用类比的方法解决三元一次方程（组）的问题.

（3）习题5的设计目的，从形式上看是初中学生最“怕”的题目，“关于x，y的方程”，以及初二、初三“关于x的函数”等，怕的原因：学生虽然学习了用字母表示数，对字母的含义有所了解、体会，但真正接受字母，理解字母的意义还存在一定的偏差，不完善、不深刻. 初中学生（尤其是初一学生）的思维以具体形象思维为主，在方程（组）中表现为：具体的、数字系数的方程能理解、能计算，但在方程中包含了字母系数，或者多了一个参数时，往往就比较迷茫，处理起来就比较困难. 通过类比习题2，明确未知数的次数为1，一次项的系数不为零，这点在y的系数和次数上表现尤为明显. 一方面，让学生形成类比的学习思路;第二方面，通过解题对二元一次方程组的概念有更进一步的认识，达到概念的精致;第三方面，为今后的学习提供了解题经验.

活动2：方法提升

解方程组：5x+6y=12，

6x+5y=21.

师：观察方程的系数有什么特点？你打算用什么方法来解题？

生1：没有一个未知数的系数为1，或者-1，用代入消元法解不方便，

生2：未知数的系数也不成倍数关系，用加减消元法也不方便.

师：那该怎么办？

生3：未知数的系数有新的特点，x，y的系数好像对调了下.

很多同学比较茫然.

师：这位同学，你能说详细点吗？

生3：第一个方程的系数为5和6，第二个方程的系数为6和5，系数交换了位置.

生4：我把两个方程相加得到了11x+11y=33，然后两边同时除以11得到了x+y=3，然后和第一个方程组成一个新的方程组x+y=3，

5x+6y=12， 解这个方程组就比较方便.

师：很好，大家还有别的想法吗？

生5：我把两个方程相减得到了x-y=9，然后和第一个方程组成一个新的方程组x-y=9，

5x+6y=12，解这个方程组同样比较方便.

生6：我把刚才这两位同学的想法综合了一下，把原方程组中的两个方程相加和相减，得到了新方程组x+y=3，

x-y=9， 这个方程组的解一眼就能看出是x=6，

y=-3.

师：太精彩了，当初我们把两个方程相加（或相减）的目的是为了消去一个未知数，得到一个一元一次方程，从而解出这个方程组. 现在我们把这两个方程相加（或相减），得到x+y=3，x-y=9，我们把x+y，x-y看成一个整体，这种想法称为整体思想. 请大家按照这样的想法来完成以下练习：

1. 解方程组（2选1）.

（1）x+y=3，

y+z=6，

z+x=9;    （2）x+2y+z=12，

x+y+2z=18，

2x+y+z=24.

2. 已知二元一次方程组2x+3y=5，

x+4y=3， 则3x+7y=_____，2016-x+y=____.

设计说明  通过对一个对称方程组的解法的交流，从观察方程的系数特点出发，引起认知冲突，激发学习兴趣. 把两个方程相加（相减）的目的从消元化“简”，化二元为一元，从而可解方程，拓展提升为得到一个新的二元一次方程，而这个新方程的系数相对“简单”，用这个新的方程和原方程组中的方程组成方程组，或者把新得到的方程的左边看成一个整体，用整体代入的方法解决问题. 加减消元的目的是为了化“简”，化难为易，这个“易”可以是只有一个未知数，也可以是一个相对简单的等式，丰富学生的认知，拓宽了“加减消元”的内涵，提升学生的思维品质.

活动3：实际应用

有甲、乙、丙3种商品，某人购甲3件，乙7件，丙1件，共需24元;若购甲4件，乙10件，丙1件，共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件，共需_____元.

学生顺利地将问题转化成了方程组3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②， 则x+y+z=_____.

但在解方程组时遇到了问题，过了好一会儿才有学生回答，我好像有办法了.

生1：我是先消元，将方程转化成x+3y=9，通过解这个二元一次方程得到方程的一组解是x=6，

y=1， 再把这个解代回原方程，解得z=-1，从而得到x+y+z=6. 但是这个方程组中z=-1不符合实际.

师：很好，用特殊值法解题，的确不一定是问题的解，谁有办法完善一下解法呢？

生2：可以尝试几个数字试试.

師：那好，我们分别假设y=1，y=2，y=3……然后解方程，看看x+y+z=6是否仍然成立？

几分钟后教室里出现了兴奋的声音：“我做出来了！”“我也做出来了！”“x+y+z=6仍然成立. ”

师：太好了，我们通过假设y为一个确定的数时，通过解方程，虽然x，z的值发生了变化，但x+y+z的值始终不变，你们能说明这个“事实”的正确性吗？

生3：把x+3y=9中的3y移到方程的右边，得到x=9-3y③，然后把③代入方程①.

同学们听了提示后，赶紧计算起来，不久就有兴奋的声音传来：“我知道了.”

生4：方程的解为x=9-3y，

z=2y-3， 从而得到x+y+z=（9-3y）+y+（2y-3）=6.

师：同学们，你们真是太厉害了，通过消元法，成功地将三元一次方程组（不完整），转化为一个二元一次方程，然后通过假设y为一个确定的数时，猜测得到了x+y+z的值为定值，最后通过将y一般化，解出了方程组，说明了x+y+z为定值的正确性. 这题还有其他精彩的解法， 下面老师来介绍三种新的解法. 请同学仔细观察老师的解题步骤，猜猜看，老师是怎么解这个方程的.

方法一：3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②， ②-①得x+3y=9③，把③代入①可得2（x+3y）+（x+y+z）=24④，解得x+y+z=6.

方法二：3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②， 将方程组变形为2（x+3y）+（x+y+z）=24③，

3（x+3y）+（x+y+z）=33④， 解这个方程组得x+3y=9，

x+y+z=6， 即x+y+z=6.

方法三：3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②，①×3-②×2得3（3x+7y+z）-2（4x+10y+z）=24×3-33×2，去括号，合并同类项得x+y+z=6.

设计说明  通过一个实际问题，而且是不定方程的实际问题，落实了方程组的实际应用，体现了数学的实际应用价值. 通过探索这个不定方程的解，使学生进一步明确方程组解的结构，解的探索方法. 从特殊值y=1，y=2，y=3…的尝试检验法，到一般解法（含待定字母）验证解的正确性，体现了从特殊到一般，从具体到抽象，帮助学生加深对方程组解的理解，符合学生的认知规律. 通过学生欣赏教师的方程组新解法，激发了学有余力的同学学习数学的兴趣，感受数学的结构美. 新的解题思路，蕴含着更深层次的数学思维，这将继续鼓舞着学有余力的同学认真学习数学.

教学反思

1. 整节课以题组的形式呈现了本单元的基本知识，没有单纯地讲概念. 在实际练习中巩固了知识点，把基本知识习题化，精选习题，不疏漏、不重复，系统地梳理了本单元的基本知识，基本方法. 题题有目的、题题有深意，有利于学生对学习内容的整体把握，形成自己的认知结构. 同时通过关于对“关于x，y的方程”的探讨，深刻理解了概念，同时也为后续的学习做好铺垫.

2. 注重了习题之间的内在逻辑联系，引发认知冲突，激发学习兴趣. 通过师生对话，引导学生积极探索怎样较方便地解方程组5x+6y=12，

6x+5y=21 的活动，促使学生的思维从单纯地利用“加减法消元化简”，提升到“加减法整体化简”. 丰富了学生的认识，促使学生加深对知识、技能、方法的理解和掌握，从而满足不同思维能力的学生的需求，完善学生的认知结构，并使其体会整体思想，提升了思维品质. 通过方程解法的探讨，引导学生学习从方程的系数特点、问题的结构特点出发，找到比较简洁的解法，培养学生灵活解题能力，并为今后学习整式乘法中的代数式求值、构造公式变形、因式分解中的整体思想做好了铺垫.

3. 采用“问题情境——建立模型——解释、应用”的模式展开活动3，向学生提供了现实、有趣、又富有挑战性的学习素材. 再一次经历了用尝试检验法解决问题，在质疑中尝试用字母y表示x和z，从而找到了方程组的通解，解答了问题. 在解题过程中，学生通过积极思维，掌握了获取知识的过程和方法，完善了认知结构，提升了解决问题的能力. 教师的新的解题方法更关注了学生个性特征与水平差异，满足了不同学生对数学学习的不同需求.