含参数的方程、 不等式的问题解题策略

王淑凤

【摘要】含参数的方程、不等式的问题是历年高考常考的题型，由于含有参数对很多同学来说感到困难重重，一重困难是选择什么样的解题方法（如2012年山东卷第12题），二重困难是含参数问题涉及的分类讨论（如2017年全国卷Ⅰ第21题），根据我多年的研究发现，（1）这类题目解题方法有规可循，基本方法有：分离参数构建函数，不分离参数构建函数，半分离参数构建函数，总之，如何构建函数是解题的关键.（2）很多求参数取值范围的问题，其实有时可以避开分类讨论这个陷阱.本文就结合实例谈谈这类问题的求解策略.

【关键词】含参数的方程;不等式;解题策略

一、分离参数构建函数

若方程或不等式中的参数容易分离出来，即参数分离在方程或不等式的一边，另一边是关于自变量的函数，分离后的函数不复杂，容易求出导函数，容易研究函数的性质，就选择分离参数法构建函数.

例1（2017年全国Ⅰ第21题）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

分析f（x）=ae2x+（a-2）ex-x有两个零点，转化为方程ae2x+（a-2）ex-x=0有两个根.

先分离参数a=2ex+xe2x+ex，令g（x）=2ex+xe2x+ex，g′（x）=（-ex+1-x）（2ex+1）ex（ex+1）2.设h（x）=-ex-x+1，则h（x）递减，h（0）=0，当x∈（-∞，0）时h（x）>0，∴g′（x）>0，∴g（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，h（x）<0，∴g′（x）<0，∴g（x）单调递减，所以当x→+∞时，g（x）→0，当x→-∞时，g（x）→-∞，

如图所示，∴0<a<1.

评析查阅高考评分标准，看出对参数a>0共分了三种情况讨论：a=1，a>1，0<a<1，其中0<a<1时，要用函数零点的判定定理，找区间端点时非常困难，绝大多数学生完成不了.但用分离参数构建函数的方法可避免了分类讨论，通过研究函数g（x）=2ex+xe2x+ex的单调性、最值，画出y=g（x）的图像，数形结合的思想方法研究参数a的取值范围，化难为易，是一个拍手称快的好方法.

二、不分离参数构建函数

若方程或不等式中参数不容易分离出来，但方程或不等式左右两边的函数容易求出导函数，容易研究函数的性质，此时方程或不等式两边的函数作差构建函数，这就是不分离参数构建函数.

例2（2015年山东理21题）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范围.

分析f′（x）=1x+1+a（2x-1）=2ax2+ax+1-ax+1（x>0）.

设g（x）=2ax2+ax+1-a（x>0）.因为x+1>1，所以由f′（x）≥0恒成立得g（x）=2ax2+ax+1-a≥0恒成立，当a=0时，g（x）=1≥0恒成立，当a>0时，因为y=g（x）的对称轴x=-14，所以g（x）在（0，+∞）上是增函数.

只需满足g（0）=1-a≥0，所以0<a≤1.当0≤a≤1时g（x）≥0，即f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，由f（0）=0，所以f（x）>f（0）=0（x>0）.

当a>1时，f′（0）=1-a<0，所以x∈（0，x0），使f′（x）<0，所以f（x）在（0，x0）上为减函数，所以f（x0）<f（0）=0与f（x）≥0恒成立矛盾.

若a<0时，f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）<x+ax2-ax=axx-a-1a.因为ax<0，所以当x>a-1a时，axx-a-1a<0，所以f（x）<0与f（x）≥0恒成立矛盾，综上陈述，0≤a≤1.

评析因为x>0，x2-x>0不恒成立，x2-x<0不恒成立，所以从f（x）≥0不等式中分离出a很烦琐，因此，不宜选择分离参数构建函数，但f（x）的导函数容易求出来，所以用不分离参数构建函数法.但必须分类讨论，作业批改发现，很多学生只能做到a≤1，对于a<0时，要么由于二次函数的基础知识不扎实，忽略它的讨论;要么由于运算变换的能力达不到要求的水平，只好望而却步.

含参数的方程、不等式問题解题策略大致有三个方向;第一，分离参数后，研究不含参数的函数的性质;第二，方程或不等式两边的函数作差构建函数来研究;第三，先方程或不等式两边变形，使方程或不等式的一边不含参数另一边含参数，再方程或不等式两边的函数作差构建函数来研究，或研究方程、不等式两边的函数的性质（如本文中例3），无论哪种方向，其核心思想还是等价变换，抓住了这一点，才能以不变应万变.当然这需要我们去领悟、体会、总结.

【参考文献】

[1]张启凡.含参不等式的解题策略与方法[J].数学教学通讯：中教版，2000（3）：43-44.