数学分析课程中的抽象与直观探讨

林穗华

【摘要】本文通过探讨数学分析课程中抽象与直观的联系，旨为培养和提高高校数学专业学生的数学核心素养提供策略和思路.

【关键词】数学分析；数学核心素养；抽象；直观

【基金项目】2016年广西民族师范学院广西重点培育学科（应用数学）课程资源建设立项（数学分析）（编号：Sxkczy01）.

一、引言

20世纪末开始的数学课程改革，大力提倡培养学生的数学素养.所谓数学素养，是人们能够用数学的眼光来观察世界，发现、提出、分析和解决问题的内在素养，由数学知识与技能、数学思想与方法、数学能力与观念等组成.其中数学核心素养主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面.

高等师范院校数学与应用数学（师范类）专业承担着为中小学校培养合格数学教师的重大责任，培养的学生要具备良好的数学素养.而数学素养的培养离不开数学专业知识的学习，数学分析课程是高等师范院校数学与应用数学专业中的一门重要专业基础课.它集科学性、严密性与连贯性于一体，包含了丰富的数学思想和数学基础知识，是学生进一步学习后继专业课程的阶梯.因此，数学分析课程的知识和内容对数学专业学生数学素养的培养具有重要的作用.

二、数学分析课程的抽象与直观

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.数学抽象主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.

直观想象主要指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题.主要包括利用图形描述数学问题，启迪解决问题的思路，建立形与数的联系，加深对事物本质和发展规律的理解和认知.

抽象和直观常常在同一个数学问题中同时存在.数学分析课程中，抽象和直观是不可缺少的思维方法.很多初次接触数学分析课程的高校学生常常觉得数学分析课程学习起来晦涩难懂，究其原因就是数学分析课程中有大量抽象的定义、定理、法则、公式和数学模型等.对数学分析知识和内容的抽象性，如果机械地记忆，很难在解题过程中熟练地运用.但是数学分析的很多理论知识，又是现实世界中直观现象的数学反映.因此，在学习数学分析课程的时候，可以采用化抽象为直观的处理方法，利用直观化的形式，去理解和接受新的知识，达到加深对数学分析知识的理解和掌握的目的.

（一）通过几何直观来理解抽象的概念

例如，数列极限的定义是极限的基本概念，也是数学分析中学习的第一个极限定义，定义内容为：设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|xn-a|<ε都成立，则称数列{xn}以a为极限.

由于数列極限的高度抽象性，初学者对数列极限的定义可能难以理解，进而影响其运用该数列极限定义解决其他问题.如果我们从几何直观的角度来分析、理解数列极限的几何意义，将抽象的数列极限定义直观化.可以帮助我们更深入地理解这个数列极限的定义.

由图1我们可以清晰地观察到：任给ε>0，对于坐标平面上以x=a为中心，宽为2ε的邻域，总可以找到N>0，使得数列中的无限项an，n>N落在邻域内.抽象的数列极限定义经过直观化，更清楚简明，易于更好地理解和把握.

（二）利用几何直观来掌握抽象的数学公式

多元复合函数的求导一般比较复杂，有各种各样的情形出现，在求导过程中很容易混淆复合函数中的自变量和中间变量.为了便于记忆，可以按照变量间的复合关系，画出直观的示意图，帮助学生进行记忆，使学生可以更好地掌握公式的本质思想.

（三）运用直观想象加深对抽象定理的理解

数学分析是建立在极限理论基础之上的，而极限理论的基础是实数，实数完备性定理就成为基础的基础.实数的完备性定理中的区间套定理是证明和推导其他实数完备性定理的有效工具.

闭区间套定理：若闭区间列{[an，bn]}是满足如下条件

（1）[an，bn][an+1，bn+1]，n=1，2，…；

（2）limn→∞bn-an=0.

则在实数中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an，bn]，n=1，2，….

区间套定理内容抽象，如果结合定理的几何意义（图2），可以理解为：区间[a1，b1]套着[a2，b2]，区间[a2，b2]套着[a3，b3]，…，以此类推，最后一定能套出一个公共的实数点.

【参考文献】

[1]黄友初.数学素养的内涵、测评与发展研究[M].北京：科学出版社，2016.

[2]郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016（3）：1-5.

[3]华东师范大学数学系.数学分析上、下册（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.