数列解题中易错问题例析

山东省青岛市城阳区第一高级中学 潘继祥

数列是高中数学的重要内容之一，也是历年高考数学考查的热点之一，由于数列考查学生的综合能力较强，学生在解题的过程中经常会因为定义公式不清、审题不细、忽略条件、思想方法考虑不周等原因而错解题目。下面就一些常见错误分类例析如下。

一、对概念理解不透彻致误

例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，，求通项an。

错解：由 Sn+1得 Sn-1+1，两式相减得 ，则有=2，所以数列{an}为等比数列，又 ，所以 。

错因分析：对等比数列的概念理解不透，由 Sn+1和忽视了n≥2，从而漏掉检验

正解：数列{an}从第二项起构成等比数列，所以当n≥2时，

例2 等比数列{an}中，已知an＞0， ，求a5，a7的等比中项。

错解：设该等比数列的公比为q，首项为a1，由题意得解得则的等比中项为3。

错因分析：对等比中项的概念理解不透，误认为a5，a7的等比中项为a6，要明确非0同号两数的等比中项有两个，且互为相反数。可设G为a5，a7的等比中项，则 ，所以a5，a7的等比中项为3或-3。故正确答案为3或-3。

二、公式应用错误致误

例3 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，求数列的公比q。

错因分析：错误在于用等比数列求和公式时忽视要分两种情况q=1和q≠1讨论，即当q=1时，则有 ，显然，与题设矛盾，故q≠1；当q≠1时，解法如上。所以正确答案为

三、审题不细，抓不住问题的本质致误

例4 已知等差数列{an}，首项a1=5，前n项和为Sn，仅当n=10时Sn取最大值，求公差d的范围。

错解：因为仅当n=10时Sn取最大值，由等差数列单调性知前10项为非负，所以，

错因分析：对等差数列的单调性理解不够，由题意知此数列为递减数列，仅当n=10时Sn取最大值，隐含条件为前面10项都大于0，没有0项，所以由相邻两项 组成不等式组解得

例5 已知等差数列{an}的首项公差d＞0，从第10项起每一项都大于1，求公差d的范围。

错因分析：对等差数列的单调性理解不够，由公差d＞0知此数列为递增数列，从第10项起每一项都大于1，隐含条件为前面的每一项都小于等于1，所以由相邻两项 组成不等式组得

四、混淆数列与函数的思想方法致误

错因分析：上述解法忽略了数列中的项数n应为正整数这个条件。由于n∈N＊，所以当n取距离最近的正整数2时，an取得最大值13。∴数列{an}中的最大项为a2=13。

例7 已知数列{an}是递增数列且，求实数λ的取值范围。

五、忽视分类讨论思想致误

例8 已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2。（1）求通项an；（2）求数列的前n项和Tn。

错因分析：两问都忽视了分类讨论的思想，前者忽视了an=Sn-Sn-1只有n≥2时才能成立，当n=1时，a1=S1=12×1-12=11，也符合 an=13-2n，所以an=13-2n。后者忽视了对n的讨论。

上面简单地列举了数列解题中常犯的一些错误，当然,易错点远不止这些。要想在解题过程中少出错误，我们首先要吃透定义与公式，掌握数列性质的内涵与外延，深刻理解数列所蕴含的数学思想。抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，才能打通解题思路，同时做一些必要的针对性练习，记录自己在练习中经常出现的错误并进行反思，这样就能避免出现类似错误。