一类平面向量问题的解题技巧

2018-09-01 03:36福建省武夷山第一中学葛香珠
数学大世界 2018年23期
关键词:共线圆心实数

福建省武夷山第一中学 葛香珠

高考试题“源于教材,高于教材”,从教材中寻找试题的生长点,钻研教材,有利于发挥教材的教育教学功能。下面利用平面向量的共线定理,我们可以得到一个很实用的结论,限于篇幅,略举三例。

结论:已知A,B,C三点共线,O是平面内的任意一点,则存在实数x,y,使得

证明:因为 A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得 ,

下面将从三个例子解释其应用规律。

解:由题设知A,M,Q三点共线,根据上面结论得,存在实数x,y,

图1

例2 如图2,给定两个长度为1的平面向量 和 ,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上移动。若其中x,y∈R,则x+y的最大值为 __________。

解:设AB与OC交于点D,

根据上面定理及结论,存在实数m,n,λ,

根据平面向量的基本定理得m+n=λx+λy=1(λ>0),

图2

故x+y的最大值为2。

例3 (2017课标3,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若则λ+μ的最大值为( )。

解:如图3所示,建立平面直角坐标系,

图3

设AP与BD交于点E,

根据上面定理及结论,存在实数x,y,λ,

过点P作PF∥AB交直线BD于点F,则△ABE与△PFE相似,

以上例题采用建立恰当的坐标系,利用函数与方程的思想方法解题,也是不错的思路,读者不妨试试。

我们可以把上面的定理和结论作为一个解题模板,用来研究形如的题型,特别注意三点共线时,x+y=1是解决这类问题的关键点和难点所在,必要时结合平面向量的坐标运算,几何知识与三角函数会加快解题速度。

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