浅谈高中数学例题解答中导数的典型性应用

唐敏睿

摘 要 高中数学中导数学习占据着重要的地位，是高考中的考察热点，通过掌握正确的思路，能够让我们对函数内容有一个更加深入的理解，提高自身综合能力。本文就此分析了导数在高中数学例题中的典型应用，希望能给同样是高中生一员的朋友提供一些参考。

关键词 高中数学;例题解答;导数应用

中图分类号：G632                                                      文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2018）17-0110-01

函数与导数是高中数学中的重要组成部分，同时在高考试题中也占据较大的比例，而导数又是高中数学中的学习重点，同时也是我们未来学习微积分内容的重要基础，但同时对于广大高中生来说也是一项学习难点，其中包括多种思想，只有熟练把握正确的解题思路，才能促进解题效率的有效提高，文章就此分析了导数在高中数学例题解答中的典型应用。

一、导数在最值求解中的应用

在学习高中数学内容的过程中，我们经常可以看到最大函数值的相关问题，同时这种题型也是我们学习过程中的重点内容，能够利用各种方式进行有效解答。此外在遇到求解问题时，也经常会通过导数方式进行解答。其中通过导数应用来解决的比较典型的题目就是二次函数最值求解的问题。主要的内容就是在固定范围内求取其中的最大值与最小值，同时保证参数的准确性。假如通过一般的思路来解决这种类型的问题，通常都是通过数形结合的方法来解题的，在实际求解过程中需要利用各种数据和图形，同时大部分学生在通过这种方法求最值的过程中都会发生错误，为此可以通过导数来求取最值，分析区间内导数的单调性，随后将最值与区间一一对应即可，和其他的解答方法相比，这种方法更加简单。

比如在区间-3到0中，求取函数F（x）=x³+3x+1中的最小值和最大值，这道题是一个比较基础的最值求解问题，具体解题思路如下，首先是求取出函数在区间中的极值，随后在和端点上的函数值进行综合比较分析，随后就可以判断出其中的最值。为此这一类型问题的解答方法如下，因为F（x）=3x³-3，因此让F（x）=0，随后能够得出x=1，舍去。又因为F（-3）=-17，F（-1）=3，F（0）=1，经过比较分析能够发现F（x）=最大值结果是3，而最小值的结果是-17。在利用导数解决问题的过程中，主要包括三种步骤，首先是解出在一定区间内的函数极值，随后是求出端点中函数值，最后就是将求出来的端点函数值和极值进行比较分析，从而得出函数最值。

二、导数在曲线问题中的应用

在遇到几何问题时，将导数有效应用进去，能够简化计算方法，同时还能让我们用最少的时间计算出正确答案。我们在高中阶段学习数学知识时，在遇到坐标系切线方程的相关问题时，经常会遇到下面这种类型的问题。大部分条件下，这种类型的题目会将曲线外部的一种坐标点告知给我们，随后让我们求出这一点所对应的曲线切线方程，在遇到这种类型的问题时，我们就可以通过导数方法来进行解题。比如在下面例题中，已经告诉我们C曲线是y=f（x），请求取经过点P（X₀，Y₀）位置的曲线切线方程式。当我们遇到这种类型的问题时，可以通过导数中的方法和概念进行解答。首先在解题时，应该对P点位置进行准确分析，看其是否位于对应曲线C的上面，随后在求出对应导数f（x），并进行相应的计算求解。在这一过程中，应该注意结合不同的情况进行分析，比如P位于C线之上时，只需解出对应切线方程式即可，随后获得最终答案。第二种情况就是P点没有在C线上面，就应该解出其相邻切点，通过这种方法，我们就能够求出经过一条直线中的两种坐标点，并将经过P点的C曲线相对应的切线方程解答出来。

在高中数学解题过程中，我们也经常能够遇到求取特殊曲线对应切线的问题，像是三角形切线等，假如通过传统的方法来解出切线方程式，就需要绘制比较复杂的图形，增加了解题错误率。导数也是函数的一种，同时是曲线中任意一点对应的斜率，假如将导数引入到切线求解中来，就能帮助我们扩展解题思路，从而让整个解题过程更加简洁，让我们能够用最短的时间解出正确答案，同时保证解题的正确率^[1]。

三、导数在三角函数中的应用

想要解出问题的正确答案，首先应该详细的审题，随后了解问题的大致含义，并分析应该应用导数中的哪种性质或是方法，从而有效解决问题。比如在下面问题中，已知y=（1+cos2x）²，求y值，这就是一种比较典型的导数求导问题，我们在计算这种类型问题时出现错误主要就是因为对复合函数求导过程不够熟练所导致的，x与2x系数不同也属于一种复合过程，但是在实际求解过程中，却经常忽视这一问题，在掌握题目考核重点后，就可以正确解答，首先设y=u，u=1+cos2x，那么就能够得出y_x=y_uu_x=2u（1+cos2x）=2u（-sin2x）·（2x）=2u·（-sin2x）·2=-4sin2x（1+cos2x）随后就可以解出正确答案，通过这种方法让计算过程更加便捷。

四、结语

综上所述，作为一名高中生来说，如果想要学好导数这部分的内容，首先就应该对导数的运用法则、性质以及概念等内容有一个全面的把握。导数能够应用到曲线方程以及最值求解等題型当中，同时在几何以及向量等问题中也能发挥出良好的引用功能，在掌握导数的典型性应用方式后，举一反三，对相关知识点有一个更加深入的把握，促进问题的有效解决。

参考文献：

[1]吴爽.高中数学例题解答中导数的典型性应用研究[J].数学学习与研究，2018（14）：128.

[2]李丁，李永亮.导数在高中数学题目解答中的典型性应用分析[J].数学学习与研究，2018（04）：124.