把握动态联系，利用性质解题

梁素芬

[摘 要] 结合了物理运动知识的几何问题是近几年的中考热点题型，对于该类问题，要从动态几何的角度来分析，理解运动轨迹与几何线段的联系，有效结合物理运动知识建立几何元素与运动参数的关系，充分利用几何性质分析问题.

[关键词] 运动问题；动点轨迹；几何问题；几何性质；转化思想

随着课改的推进，学科间知识的融合成为必然趋势，同时中考命题也向着学科结合的方向发展，其中渗透了物理运动学知识的几何问题成为近年来中考的热点题型，主要从运动角度来考查学生几何知识的掌握情况，对于该类问题，要充分理解物体的运动特点，有效结合几何性质解题.

真题解析，试题点评

1. 真题呈现

（2017年广州卷第24题）如图1所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED.

（1）略；

（2）连接AE，如果AB=6 cm，BC=■cm.

①略；②如果点P是线段AE上一个不与点A重合的动点，连接OP，一动点Q从点O出发，以1 cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，然后以1.5 cm/s的速度沿着线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所用时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需要的时间.

2. 试题解析

分析 （2）②该问题为典型的结合了物理运动问题的数学问题，剔除无关线段后的部分如图2所示，两个定点A，O和直线AE，问题简化为从点O出发经过AE上某一点到达点A，使整个运动路径最短. 解决该问题可以采用等效法，假设到达了AE上的点P，则路径为OP+PA，t=■+■，将■转化为某一条边长，再利用两点之间直线最短即可.

解答 （2）②设经过了AE上的点P，则s=OP+PA，时间t=■+■. 如图3，过点P作PH⊥AD，垂足为点H，使得sin∠EAD=■. 易知sin∠EAD=■，则PH=■，则运动时间等效为OP+PH，当O，P，H三点共线时时间最短. 则只需过点O作EF⊥AB即可，OH=■AB=3，则时间为3 s，AP=■AE=■.

3. 试题点评

本题目为结合了物理运动知识的数学几何问题，主要考查学生对于几何知识的掌握以及数学思维能力. 上述求解过程准确把握动点移动轨迹，结合物理运动知识将时间问题转化为与线段相关的问题，然后利用几何性质来求解. 解题的核心思想是：理解动点轨迹即几何线段的本质，实现问题的几何转化，建立运动参数与几何线段的关系. 该解题思路可以应用于结合了物理运动知识的几何问题，即将所求问题转变为几何线段问题，再利用几何知识求解.

试题衔接，思路解析

结合了物理运动知识的几何问题的实质是动态几何问题，动点轨迹可以转化为包含时间参数的几何线段. 动态几何问题的考查形式多样，例如求面积、几何形状、最值等，都可以将其归结为求解几何线段的问题，求解的思路也是建立运动参数与线段的关系，结合几何性质针对性分析.

试题1 （2015年浙江衢州卷第24题）如图4所示，在△ABC中，AB=5，AC=9，S■=■，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P，Q两点同时停止运动. 以PQ为边作正方形PQEF（P，Q，E，F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH.

（1）求tan A的值；

（2）假设点P的运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，S是否存在最小值？如果存在，请求出S的最小值；如果不存在，请说明理由.

分析 （1）略；（2）求正方形PQEF的面积，可将其表示为S■=PQ2，则问题的关键转换为求边长PQ，过P作PN⊥AC，将其放在直角三角形中来求，P，Q均为动点，则只需要建立PQ关于时间t的函数即可，面积为关于时间t的二次函数，是否存在最小值则需要分析在定义域t内的最值，从函数角度分析.

解答 （1）略；（2）过点P作PN⊥AC，垂足为N，如图5，S■=PQ2，则PQ2=NP2+NQ2，经过时间t，AP=5t，PN=3t，AN=4t，所以QN=9-9t，则S■=90t-■2+■0≤t≤■，则面积S是关于t的二次函数，只需求函数的最小值即可，分析可知当t=■时，可得最小值S■=■.

试题2 如图6所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，点P从B点出发，速度为每秒1个单位长度，沿B→C→A方向运动；点Q从C点出发，速度为每秒2个单位长度，沿C→A→B方向运动，到达点B后立即原路返回. 如果P，Q同时开始运动，相遇后都立即停止，设移动时间为t秒.

（1）略；

（2）点P从B运动到C的过程中，t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

分析 （2）要求△PCQ为等腰三角形，则顶点可以为C，边CP=CQ；也可以顶点为Q在AB上，边PQ=CQ. 对于第二种情况可以利用三角形相似，用时间参数t表示出BE，CE，然后结合三角形腰相等来求出时间t.

解答 （2）△ABC为直角三角形，利用勾股定理可得AC=4.

①当点Q在CA上，△PCQ为等腰三角形时，CP=CQ，则3-t=2t，解得t=1.

②当点Q在AB上，△PCQ为等腰三角形时，PQ=CQ，CP=3-t，AQ=2t-4，BQ=9-2t，作QE⊥BC，垂足为E，则CE=■-■t，△BQE～△BAC，则■=■，即BE=■（9-2t），CE=■t-■，则■-■t=■t-■，解得t=■.

上述几何问题都结合了物理的运动知识，即速度与时间，求解的主体思路也是转化问题，建立几何元素与运动参数的关系，利用几何特性来求解. 试题1求面积最值，利用面积公式将问题转化为分析动点轨迹问题，利用运动知识建立几何面积关于时间t的关系式，通过函数分析求解. 试题2则是利用等腰三角形腰相等的特性，转化为求几何线段问题，然后利用时间t与线段的关系求解. 运动问题的几何转化是实现求解的有效途径，通过转化可实现复杂问题的具体化、形象化、简单化.

解后反思，教学思考

1. 学科融合，本质认识

中学学科都不是独立存在的，各科之间是相互关联、相互渗透、共同发展的，例如涉及物理运动学的几何知识，解题的思路也应该从运动角度来理解变化，然后结合数学几何来理解轨迹. 因此数学的学习过程要注重学科之间的渗透融合，理解知识的本质，强调知识之间的联系，用融合发展的眼光看待数学学习的过程. 在教学中教师有必要对数学中的物理问题进行针对性讲解，引导学生从数学和物理两方面理解问题，从而增强学生对问题本质的认识.

2. 还原课本，变式学习

结合了物理运动知识的几何压轴题其本质上是几何动点问题，也完全遵从教材习题变式设计思想，充分结合几何基础知识，问题的设计也是对学生相对熟悉的习题进行引申. 因此，在教学中教师授课也应该依纲靠本，注重课本重点知识的讲解，对于教材中的核心概念要进行具体、有针对性地讲解，不可抽象、简单地讲解，造成学生理解的障碍. 对于复习课要摒弃机械的题海训练，要充分把握教材的核心功能，充分利用教材习题，开展变式拓展教学，初步培养学生的发散思维.

3. 注重思维，学习思想

数学学习是一個注重思维的过程，在思维过程中产生的思想方法是学生对知识和方法形成的理性认识，这才是学习的重点. 对于几何动点问题，其中的转化思想是学习的重点. 只有准确把握数学思想，才能从本质上提升解题能力. 因此，教师在教学中要引导学生深刻体会习题中的思想方法，并对其进行总结概括，强化渗透，开展拓展训练，逐步培养学生利用数学思想解决问题的意识，形成解题思维.

写在最后

关于结合了物理运动学的几何问题，要充分认识动点的轨迹特性，建立其运动的几何模型，实现问题的几何转化，有效利用几何性质来分析求解. 在教学中教师要重视学科间的结合点，帮助学生充分认识知识的本质联系；将问题还原到课本习题，开展变式教学；注重学生的思维过程，引导学生学习和掌握数学的思想方法.endprint