借助直角三角形，解决线段长度问题

陈庆霞

[摘 要] 在初中数学中，求解指定线段的长度问题层出不穷，那么，有没有比较通用的方法来帮助学生分析呢？当然有，那就是构造合适的直角三角形. 本文主要介绍了几种类型的试题中，如何构造直角三角形来解决线段长度的求解问题.

[关键词] 直角三角形；中点；动点；辅助线

当学生面对求解线段长度问题束手无策时，毫不夸张地说，直角三角形会让他们豁然开朗. 这要归功于直角三角形那些“美好”的属性，其中最为好用的就是“斜边上的中线等于斜边的一半”. 但题目往往不会直接给出明显的直角三角形，所以需要我们自己去构造. 下面，笔者从构造直角三角形的不同方法入手，讲解如何利用其解决线段长度的求解问题.

试题呈现，方法提炼

在求解线段长度的试题中，有这样一类题：所求线段的两个端点是某两条已知线段的中点，这类题往往在命题中就给出了足够的点，我们只需连接一些已知点来构造直角三角形即可.

例1？摇 如图1，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G和点F，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（？摇？摇 ）

A. 3 ？摇 B. 2■？摇？摇 ？摇C. ■？摇？摇？摇 D. 4

解析？摇 连接MF，BF，由题意知B，N，F三点共线，且BN=NF，△MBF是直角三角形. 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，MN的长是BF的一半，所以MN=■BF=■. 所以答案为C.

提炼“真经”？摇 本题难度适中，条件中给足了“中点暗示”，两个中点分别提供了直角和一条三角形的边，进而为辅助线提供了思路，同时也暗示了直角三角形在此题中的重要地位.

至此，本篇文章的主角——“直角三角形”就正式出场了. 事实上，解初中几何问题的实质就是在给定的图形及条件中寻找或创造出一些特殊的形状，如直角三角形、圆形、矩形、等腰三角形等，然后利用它们的特殊性质达到解题的目的. 下面以具体示例来说明如何分析和构造“直角三角形”，以达到解题的目的. 当然，这些方法只是解题思路的冰山一角，学生可以以此为切入点，找到适合自己的解题技巧.

触类旁通，剖析动点

动点问题在初中几何问题中非常常见，相对于解答题来说，选择题中的动点问题较容易，因为对于动点来说，总是存在着一些特殊的位置，使得问题变得无比简单，其中就包括直角三角形，其往往能使问题的解决豁然开朗.

例2？摇 如图2，△ABC的底边AB固定，且AB=4，顶点C是动点，分别以AC，BC为边向外作正方形ACED和正方形BCFG，连接DG，取线段DG，AB的中点M和O，连接OM，那么OM的长为（ ）

A. 3 B. 2 ？摇C. ■？摇 D. ■

解析？摇 由于是选择题，可运用特殊化思想. 由于点C是动点，猜想点C运动到使△ABC是特殊三角形时，求出线段OM的长度. 当点C运动到使△ABC是等腰直角三角形时（如图3），因为△ABC是等腰直角三角形，O是AB的中点，所以CO=■AB. 由题意可知，D，C，G三点在一条直线上，且DC=CG，所以点C与点M重合. 所以MO=CO=■×4=2. 所以答案为B.

该题以选择题的形式出现，大大降低了难度，学生只要找到合适的特殊位置就可以轻松求解，因为选择题不需要严密的证明，但若是解答题或填空题，有可能答案的个数不唯一，那就需要学生有较高的动态思维、推理论证、综合运用知识的能力了.

举一反三，添加辅助线

有的问题，连接已知点，并不能得到直角三角形，所求的线段也并没有明显地存在于直角三角形中，此时要想解题，就要作一条或几条辅助线，通过构造直角三角形来求解.

例3？摇 如图4，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC，BD的交点，点E是CD的中点，连接BE交OC于点G，且OG=■OC，过点C作CF⊥BE于点F，连接OF，则OF的长为______.

解析 过点F作FP⊥OC于点P，因为B，C，F，O四点共圆，所以∠FOP=∠FBC，sin∠FOP=sin∠FBC=■. 因为OG=■OC=■OB，所以sin∠FCP=sin∠FBO=■，FP=FC·sin∠FCP=■. 故在Rt△OPF中，OF=■=■■.

在该题中，有个明显的特点，就是添加了辅助圆，其实在一些线段求解问题中，我们经常会运用到一些特殊形状的性质定理. 对于圆来说，有圆幂定理、角平分线定理、中线定理等，这些定理往往可以直接解題，但这对数学知识和解题能力的要求比较高.

总结提高

对于求线段长度问题，笔者列举了几种利用直角三角形解题的策略和方法，重点就是要告诉学生，这些都是有章可循的. 对于此类问题，关键在于就题论题，抓住问题的本质，选择适合该题的最有效的方法，使解题过程优化，提高解题速度. 教学中应鼓励学生多做练习，让其在遇到线段长度问题时能借助直角三角形，尽快摆脱题目的迷惑，看到答案的“庐山真面目”.endprint