不定积分一题多解的相关研究

许永鑫

【摘要】教育目标当中，要求学生需具备良好的发散思维和创新能力，落实在高等数学中的不定积分解题上，即要求学生能够具备一题多解的能力，可以利用多元化的解题思路从不同的角度进行思考和切入，并结合具体题目要求灵活使用相应的解题方法进行准确作答.在这一基础上，本文将通过结合具体例题，尝试对不定积分的一题多解进行简要分析研究.

【关键词】高等数学;不定积分;一题多解

一、不定积分的一题多解

（一）常规思路下的多样解法

1.凑微分法

在解决不定积分的高等数学问题时，学生首先要对题目尤其是已知条件进行仔细观察，通过结合题目实际情况灵活运用其以往所学知识内容，在活用不定积分的具体性质、基本积分公式等基础之上，进而尝试运用多样化的解题思路进行作答.比如，在求不定积分∫sinxsinx+cosxdx一题当中，可运用凑微分法对被积函数进行适当变形，进而求解出最终答案.原式可以在凑微分法的运用下转化成12∫sinx+cosxsinx+cosxdx-12∫（sinx+cosx）sinx+cosxdx，通过进一步推导可得∫sinxsinx+cosxdx=12（x-ln|sinx+cosx|）+C.

2.换元法

在高等数学当中，换元法是其中一种重要且常用的解题思路，其通过用简单的数学符号或是代数式对原式中复杂的公式、函数等进行等效替换，从而在有效降低解题复杂性和难度的基础上快速求解出正确答案.比如，在求解不定积分∫sinxsinx+cosxdx时，可以用a表示tanx2，则原式将在换元法下被替换成∫4a（a2+1）（2a+1-a2）da，即∫sinxsinx+cosxdx=arctana+ln（a2+1）2.再对其进行进一步推导可得∫sinxsinx+cosxdx=-ln|a2-2a-1|2+C=x2+12ln1+tan2x2=-12lntan2x2-2tanx2-1+C.在换元法的运用下，原本为三角函数的被积函数转化成了有理函数，最后通过有理函数积分法即可进行准确作答.

3.对称性法

数学学科中蕴含着丰富的形式美，一方面，大大增强了数学的美感以及学生的学习乐趣;另一方面，也可被灵活运用在解题当中，有效拓展学生的解题思路.学生通過对题目进行深入观察，可在组合积分法的灵活运用下将其自身的对称性充分展示出来，随后利用这一对称性特点进行作答.在求解积分T1=∫baf（x）dx的过程中，便可以利用其自身的对称性，重新建立一个与之近乎相同的新积分T2，即T2=∫bag（x）dx，随后用T1表示不定积分∫sinxsinx+cosxdx，而T2基本与T1一样，因此，也等于∫sinxsinx+cosxdx.此时T1与T2之和等于x+C1，而将两者进行相减之后可得T1-T2=∫sinx-cosxsinx+cosxdx=-∫1sinx+cosxd（sinx+cosx）=-ln|sinx+cosx|+C2.在对由T1与T2共同组合而成的方程组进行求解之后，即可得到T1=12（x-ln|sinx+cosx|）+C.

（二）发散思维下的多样解法

1.分解部分有理真分式

在不定积分的解题过程中，除了采用传统的思维方式，想要实现不定积分的一题多解，同时还需要学生能够主动运用发散思维，在结合以往所学知识和解题技能的基础上探索出更多新颖的解题方式.比如，在不定积分∫sinxsinx+cosxdx的求解过程中，学生便可以借助三角恒等式变形，分解部分有理真分式，同时令分子、分母除以sinx，此时不定积分∫sinxsinx+cosxdx=∫11+cotxdx，再展开计算可得∫csc2x（1+cotx）（1+cot2x）dx=-12∫1cotx+1+1-cotx1+cot2xdcotx，此时经过再次推导整理可得∫sinxsinx+cosxdx=12x+14ln（1+cot2x）-12ln|1+cotx|+C.

2.充分利用被积函数特征

在本文所给出的不定积分∫sinxsinx+cosxdx的例题当中，其属于三角函数有理式积分，也就是∫R（cosx，sinx）dx这一类型积分.在实际解题过程中，如果可以充分运用被积函数的具体特征，同样也可以探寻出全新的解题思路，达到一题多解的效果.在不定积分∫sinxsinx+cosxdx中，R（-cosx，-sinx）与R（cosx，sinx）相等，此时将tanx用t表示即可得到sinx=cosx=tt2+1，dx=11+t2dt，此时∫sinxsinx+cosxdx=∫t（t+1）（1+t2）dt，再进行进一步推导可得∫sinxsinx+cosxdx=12x+14ln（1+tan2x）-12ln|1+tanx|+C.

二、关于不定积分一题多解的反思

在尝试对不定积分进行一题多解时，学生还需要加强对被积函数定义域的重视，并随时注意在求解时被积函数定义域是否会发生变化.而在对不定积分进行变形的过程中则必须使用恒等变形，变量替换下，新变量和原变量的取值范围需要前后对应，在完成全部求解计算之后，学生也需要及时对求解结果进行求导验证，当求导数与被积函数相等时即证明解题正确，反之则需要学生重新回顾整体解题过程寻找错误之处以及时进行改正.

三、结束语

在对不定积分进行一题多解下，学生可以有意识地灵活运用各种各样的解题思路和解题方法，不仅有助于其对不定积分基础知识及其求解方法的融会贯通，同时也有助于培养学生的综合运用能力.因此，在实际进行解题时，学生还应当结合实际情况，主动运用自身的发散思维，在注重被积函数定义域的基础之上从不同角度切入进行一题多解，进而深化不定积分的学习.