徐斌
摘 要:复习不仅是对所学知识的整理与回顾,而且要在此过程中达到知识的结构化。只有结构化的知识才能使学生有能力去解决问题,形成数学的素养。更重要的是,在对数学知识进行结构化的过程中,要培养学生的数学思维能力,发现数学的内在统一,感悟数学的美,这种数学学习过程中的美好体验,对于形成数学素养,激发学生的数学学习动机起着积极的作用。
关键词:面积;复习;数学美;体验
下面是《平面图形面积的总复习》一课的一个教学片断,教师在复习了平面图形的面积计算公式和推导过程之后,又组织学生对公式进行比较,找联系,对知识进行梳理。
师:你能根据公式之间的联系,把这些知识整理成知识网络吗?把你的想法说给同伴听,然后合作画出简图,并用箭头连接,表示出各种图形的联系。
小组合作完成,交流。
师:在小学阶段,我们首先学习的是长方形的面积计算公式,这是为什么呢?
生:长方形面积计算公式是基础,因为其他的公式都是根据长方形的面积计算公式推导出来的。
师:这些推导过程有什么相同的地方?
生:都是用了转化的方法。我们在探讨一种新图形的面积公式时,都是把它转化成已经学过的图形。
师:转化是一种重要的数学思想方法,我们在学习数学时很多地方都用得到它。
一、教学思考
1. 仅从推导过程中将面积计算公式联系起来够吗?
在上述教学片断中,学生根据计算公式之间的联系,自主整理,将公式的推导过程有机联系起来,使平时所学的零碎知识结成网,连成片。同时,在复习整理的过程中,注重引导学生进行比较、反思,有机地结合所复习内容的特点,渗透转化的数学思想。但笔者觉得这样教学不够完美。既然要将所学知识连成片,我们不能仅仅从计算公式的推导过程中将公式联系起来,从一些外在的形式上找知识之间的联系,还应该让学生深入公式的内部,探索公式之间的联系,促进学生的深度思维。
2. 如何让学生体验数学的内在统一美?
还有很重要的一点,复习的目标,不能仅限于知识的梳理,我们是否可以让学生在数学思想方法、数学活动经验、数学情感等方面有一个全面的提升?让学生在数学知识的“量”达到一定标准的基础上,在“质”上有飞跃,并在数学情感方面有所升华,这才是复习应有的教学目标。当学生将零碎的数学知识整理成一个知识系统后,学生通过思考、交流,引导发现图形之间的特殊与一般的关系,计算公式中的特殊与一般的关系,图形的外在特征与内部量的属性统一协调的关系。当学生自己发现这些公式间存在着密切的联系,并形成一个具有统一美的严谨系统时,那种对数学内在高度统一的认识与惊叹会油然而生。
基于以上思考,笔者对本课的复习进行了再实践。
师:长方形的面积为什么是用长乘以宽?
生:长表示每排可放多少个小正方形,宽表示一共有几排。求一共多少个,就是长乘以宽。
师:计算长方形的面积,实际上我们是用直接摆面积单位的方法求得的。
【设计意图】计算面积,实际上是计算图形中所含面积单位的个数。如何让学生认识到这一点?复习长方形面积的推导过程,回到最原始的方法,更利于学生从根源上认识其本质。
师:我们首先学习的是长方形的面积,这是为什么呢?有什么想法先在小组里交流一下。
生:长方形的面积计算公式是基础,其他图形的面积计算公式是以长方形为基础推出来的。
师:可不可以先学平行四边形的面积,再在此基础上推导其他图形的面积计算公式?
生:不行。平行四边形的角不是直角,摆正方形不好摆。
师:与其他的四边形相比,长方形比较特殊,四个角都是直角,里面摆小正方形有优势。
师:在研究了长方形的面积之后,我们研究其他的平面图形的面积,还需要摆小正方形吗?为什么?
生:不需要,因为都没有直接计算,都是转化为其他图形计算的。
师:都是间接计算的。在小组里说一说其他图形的面积的推导过程。
小组交流。
【设计意图】计算长方形的面积是直接测量的,其他图形的面积则可看作是经过转化后的再测量,属于间接测量。两者相比较,突出了求面积的实质是求面积单位的多少,同时也突出了转化的思想方法。
师:从这些公式的推导过程中,我们可以发现它们之间不是孤立的,而是有内在联系的。你能根据公式之间的联系,画一幅图让人一眼就看出6个平面图形面积计算公式推导方法之间的联系吗?
小组合作摆“网络图”,学生汇报并说明:为什么这样摆?怎样摆更合理些?
师出示教材中的网络图(如图1):
图1
引导学生观察:想一想,为什么这样摆?你能看出这些箭头表示的意义吗?
生:从左往右,根据长方形的面积公式可以推导出其他图形的面积公式。长方形的面积计算是基础,正方形看成是特殊的长方形;由长方形的面积公式可以推导出平行四边形、圆的面积公式;由平行四边形的面积公式又可以推导出三角形和梯形的面积公式。
师:从右往左看,我们在探讨一种新的图形面积计算时,都是把它转化成已经学过的图形。所以我们要注重新旧知识之间的联系,并把新知转化成旧知。
【设计意图】新课标倡导自主探索的数学学习方式。数学知识的复习过程要让学生对知识进行自主梳理,尊重学生的个体差异,发挥学生的创造能力。自主整理不是放羊,让教师丧失其主导地位,而是教师要善于引导学生从不同的角度思考问题,从不同的角度找到统一点,构建不同的、属于学生自己的知识网络图。
师:从图形的外观上比一比,想一想:与三角形、梯形相比,计算长方形、正方形、平行四边形、圆形的面积时,为何不除以2?
生:因为没用两个完全一样的图形来拼。
生:长方形、正方形、平行四边形的上、下都一样大,圆的四周也一样,而三角形和梯形不是这样的。
师:在推导三角形、梯形的面积公式时都是转化为长方形的。当延长梯形的上底与下底相等时——
生:就成了平行四边形。
师:当梯形的上底缩短为一个点时——
生:就成为三角形。
师:梯形可以变化为这两种图形,那它的面积计算公式适用于计算这两种图形的面积吗?
生:可以。变化为三角形时,上底为0,所以还是底乘高的积除以2;变化为平行四边形时,上、下底相等,底乘2乘高再除以2,还是底乘高。
生:我发现用梯形的面积计算公式还可以计算长方形的面积……
生:我还发现圆的面积也可以用梯形的面积计算公式计算……
……
【设计意图】从图形的外观特征上找出面积计算公式之间的异同,目的是使学生认识到每个图形的外表与内在的统一;以运动变化的观点来看,我们可以把梯形看成是平行四边形和三角形的一般形式,而平行四边形和三角形是梯形的极端情形,梯形的上底延伸至与下底相等或上底缩短为一个点时,就成了平行四边形或三角形。而当学生以这种运动变化的观点思考图形及其面积计算公式时,就打通了计算公式之间的内部联系,学生在数学思考中体验到数学的内在统一美。
二、教学反思
1. 比较,感受数学之美
学生通过数学思考、交流,发现图形之间的面积计算的一致性与差异性与图形的特征(外观)有着密切联系,体会到每个图形的外部特征与内在数量化有着一致性,感受到数学的统一美,这是纵向比较;而发现梯形的面积计算公式普遍适用于三角形、平行四边形、长方形、正方形甚至圆形后,完成对公式的统一认识,这是横向比较。这种由公式表现出来的统一美,正是几何知识系统内在统一的体现。当然,仅仅通过面积计算公式的复习,就想让学生折服于数学完美的统一性是远远不够的。这种教学的意义还在于,能让学生将这种关系自然拓展到其他的几何图形的知识,比如体积计算公式、周长计算公式等。通过这样的比较,学生会觉得所学的数学知识一下子有了豁然开朗、经脉被打通的感觉。经过多种知识的沟通后,学生对数学的完美统一一定会有较深刻的体验。
2. 思考,促进美感升华
学生对数学美的感觉不仅仅来自于美丽的外在(美观对称的图案)。通过学生深层次的思考,学生对数学美的感受才更深刻。当学生整理知识时,发现公式之间的相互联系,发现梯形的面积计算公式能普遍适用于三角形、平行四边形、长方形、正方形甚至圆形,并形成一个具有统一美的严谨系统时,那种对数学内在高度统一的认识与惊叹会油然而生。这是思考后的感受,能在学生头脑中留下深深的印记,持久地影响着学生对数学的感情,对学生的数学学习起着积极的推动作用。