“数形结合思想”在小学数学教学中的渗透

茅隆森

（三明市实验小学，福建 三明 365000）

“数形结合思想”在小学数学教学中的渗透

茅隆森

（三明市实验小学，福建 三明 365000）

“数”与“形”贯穿整个小学数学阶段，这种数学思想方法对研究数学与应用数学具有重要意义，学生一旦学会和掌握将终身受益。文章主要谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透。

小学教育；数学思想；教学方法；数形结合；教学渗透

数形结合思想指的是将抽象的数学语言同直观的图形相结合，既分析其代数含义又揭示其几何意义，也就是使抽象思维同形象思维相结合。数是形的抽象概括，形是数的直观表现［1］。用数形结合思想可以更好地把握数学问题的本质，将抽象的数学语言变为直观的图形，使复杂、抽象的问题简单化、具体化。

一、渗透数形结合的思想

数形结合的思想方法，即：以形思数，帮助学生记忆；数形对照，加深知识理解；数形联系、互释，利于解题。小学阶段是学生学习数学知识的启蒙阶段，而数形结合思想又是小学阶段学习数学的一种重要的思想方法，两者不能截然分开，要做到数中有形，形中有数。［2］教师要充分利用教材中的主题图或重设教材内容，注重引导学生从“图形”读懂信息、并且会提出问题、分析问题、能找到解决问题的数量关系；在教学时，教师要留出足够的时间和空间给学生，培养学生自主探索、合作交流、参与评价等的学习习惯，从而增强学生对数形结合思想的认知，体会数形结合的思想的意义。

二、指导数形结合的方式

数形结合的方式，包含“以数解形”和“以形助数”两种情形：“以数解形”是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐述说明形的某些属性；如在几何知识的教学、探究过程中，很多内容只凭直接观察较难发现其中的规律和特点，就如判断四边形的对边是否相等、两个长方形的周长、面积是否相等，这时就需要用数来表示［3］。“以形助数”则是借助形的几何直观来阐述说明某种概念、数量之间的关系：如在教学分数的认识时，解决比较复杂的实际问题、特别是分数和百分数的实际问题时，经常要借助图形来帮助分析和理解数量关系。

在小学数学的四大领域知识的学习中，数形结合思想有着非常普遍和广泛的应用，主要体现在：在数与代数中的应用，如教学负数时，借助数轴的直观感受负数、零、正数之间的大小关系，突出正数、负数可以表示相反意义的量，知道每一个数在数轴上都有一个点与之一一对应；利用面积图来理解乘法分配律、完全平方公式；帮助学生更好地理解分数加减法的算理，尤其是异分母分数加减法，可以结合图示将平均分的份数不同（也就是分数单位不同的分数）的图形，转化为份数相同的图形。在图形与几何中的应用，如教学三角形的面积时，先让学生用两个完全相同的三角形来拼摆出已经会求面积的图形，再通过演示课件、讨论交流、得出结论：①两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。②一个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。③拼成平行四边形的底与三角形的底相等，高与三角形的高也相等。从而推导出一个三角形面积等于拼成平行四边形面积的一半，即三角形面积=底×高÷2，并加深理解为什么要“÷ 2”。在统计与概率中的应用，如教学统计量平均数时，结合主题图示使学生更好地理解求平均数的方法之一“移多补少”。

另外，统计图本身就体现数形结合思想，统计图能直观地表示出抽象的、枯燥的数据，便于师生进行分析判断和做出决策。在综合与实践中的应用，如教学“打电话”一课时，通过画图的方式，使学生找到打电话的最优方法，培养学生借助图形解决问题。

三、强化数形结合的运用

在日常的教学中，教师应注重在教学设计、教学方法、教学手段等诸多方面对学生加以培养和训练，使之逐渐养成用数形结合思想解决问题的习惯，这样才能使学生真正发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，使学生的形象思维能力和抽象逻辑思维能力在训练中不断提高。

典型案例一：教学等差数列1、3、5、7、…之和与正方形数的关系时，可以先让学生计算1、1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9…的得数，使学生发现加数的规律、得到和的规律都是“平方数”，再通过用图形来表示数的规律，达到理解“平方数”和“正方形数”的含义。使学生发现每个正方形图中都隐藏着一个算式，即1+3+5+…+（2n-1）的和等于n的平方。

典型案例二：在学习分数加法后可以设计练习，求出等比数列1/2+1/4+1/8+1/16+1/32的和。

常规解法：利用通分的方法统一分母后，按分数加法的法则进行计算的。

数形结合解法：先画一个大正方形（也可用圆形图和线段图）来表示“1”，在图中分别表示出各分数，可以通过图形来解决。

从图中可以直观地看出：1/2+1/4+1/8+1/16+1/ 32=1-1/32=31/32。

让学生在潜移默化中感悟数与形的完美结合，学会根据题意画图，帮助理解题目的意思，从而增强学生运用数形结合的兴趣。

典型案例三：用两个形状和大小相同的长方体茶叶盒来拼搭包装成一包，表面积将怎样变化？怎样包装最省包装纸？

常规解法：一般情况下先让学生利用学具进行动手操作，学生拼出了三种包装方法，再要求学生通过计算比较表面积的大小，从而找出怎样包装最省包装纸的方案。

数形结合解法：先引导学生观察、思考、交流几个问题：①有几种拼法？拼成的大长方体表面积怎么变化？②每种拼法分别减少几个面？是哪几个面？③每种拼法减少的表面积一样吗？④哪种拼法的表面积最小？引导学生发现规律：不管怎样拼，每次都会减少两个长方形面的面积；但不同的拼法减少的面积不一样。再引导学生从代数思想思考，不用具体数量的计算，其方法是：设长方体的长、宽、高分别为 a、b、h（a＞b＞h）只要给出三个数的大小顺序即可。首先让学生明确，求怎样包装最省包装纸？就是求拼搭后的大长方体的表面积最小。拼搭后大长方体的表面积的大小，取决于拼搭在一起时减少的两个面的面积之和的大小，即拼搭重叠的面越大，减少的面积就会越大，所拼成的大长方体的表面积就越小。反之拼搭重叠的面越小，拼成的大长方体的表面积就越大。根据已知条件知道：ab＞ah＞bh，最省包装纸的包装是拼后大长方体的表面积为：S=4（ab+bh+ah）-2ab或S=2ab+4bh+4ah。

经过在教学中、在解答问题时长期的培养和训练，学生可以养成运用数形结合思想的习惯，这有利于丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高学生的思维能力、分析能力和解决数学问题的能力，为学生长远学习奠定基础［3］。正如我国著名数学家华罗庚先生曾经指出的——“数缺形时少直观，形少数时难入微。”数形结合思想既是数学教师一种常用的教学方法，也是学生一种解决问题非常有效的思想方法。

［1］夏俊生.数学思想方法与小学数学教学［M］.南京：河海大学出版社，1998（12）.

［2］田慧生，李如密.教学论［M］.石家庄：河北教育出版社，1999（01）.

［3］张新爱.小学数学学习的思想方法［J］.教育研究论坛，2011（13）.

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1673-9884（2016）05-0067-02

2016-04-06

茅隆森（1968-），男，福建沙县人，三明市实验小学一级教师。