探究组合长方体的最小表面积

范才凤

在计算组合长方体的表面积时，由于摆放方法不一样，它的表面积也就不一样。例如：有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是16cm、6cm、2cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？

实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变。但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化。经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：

探究结论：

（1）请计算图2、图3、图4中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：

根据上表可知，表面积最小的是所示的长方体。（填“图2”“图3”“图4”）。解决问题：

（2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是16cm、6cm、2cm，若将这4个纸盒搭成一个大长方体，共有种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为cm2。

（3）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是a、b、c，a>2b且b>2c，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为cm2。（用含a、b、c的代数式表示）【解析】（1）长方体的体积不变，但由于摆放重叠的面不一样，每个图形的表面积也就不一样。图2中，长方体的高为4，表面积=2（16×6+16×4+4×6）=368;图3中，长为32，表面积=2（32×6+32×2+6×2）=536;图4中，宽为12，表面积=2（16×12+16×2+12×2）=496。所以图1的表面积最小。

（2）如图5所示：

现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是16cm、6cm、2cm，若将这4个纸盒搭成一个大长方体，共有7种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为2（16×6+16×8+6×8）=544cm2。故答案为7，544。

（3）现在有4个小长方体纸盒，每个长、宽、高都分别是a、b、c，a>2b且b>2c，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，当a=?3b且b=?3c时，共有6种搭法，可分两类。如图5，第一类有3种情况，表面积分别为（8ab+8ac+2bc）cm2、（8ab+2ac+8bc）cm2、（2ab+8ac+8bc）cm2。第二类也有3种情况，表面积分别为（4ab+4ac+8bc）cm2、（8ab+4ac+4bc）cm2、（4ab+8ac+4bc）cm2。第三类：当a=3b时，表面积分别为（8ab+5ac+3bc）cm2;当b=3c时，表面积分别为（3ab+8ac+5bc）cm2。因此共有6（a=?3b且b=?3c）或7（a=3b或b=3c）或8（a=3b且b=3c）种不同的方式。由于a>2b且b>2c搭成的大长方体的表面积最小为（2ab+8ac+8bc）cm2。（用含a、b、c的代数式表示）

本题主要考查了几何体的表面积，解题的关键是如何用分类讨论的方法思考长方体的摆放。摆放的方法不一样，解题的结果就不一樣，这属于中考常见题型。

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）