“三角形的中位线”教学设计

何广民（黑龙江省齐齐哈尔市第二中学）



“三角形的中位线”教学设计

何广民（黑龙江省齐齐哈尔市第二中学）

摘要：以“给出概念—概念识别—探究性质—应用性质”为主线设计教学活动，注重学生探究能力的培养，让学生去亲身体验知识的发生、发展过程；有效地、适当地运用信息技术手段辅助教学，激发学生的学习兴趣．

关键词：概念教学；转化思想；类比推理能力；猜想验证

内容和内容解析

1．内容

三角形的中位线的概念，三角形中位线定理．

2．内容解析

三角形的中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段，而三角形中位线定理也是一个重要的性质定理，它是前面已经学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到三角形中位线定理，对今后学习相似和位似奠定了基础．因此，本节内容起到了承上启下的作用．

在三角形中位线定理的证明及应用中，渗透了转化、类比、归纳等数学思想，这些都是重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义．

基于以上分析，本节课的教学重点：三角形中位线定理的探究．

目标和目标解析

1．目标

（1）使学生理解三角形的中位线的概念．

（2）探索并证明三角形中位线定理，会用三角形中位线定理解决相关的问题．

（3）经历从发现三角形的中位线到推导定理的过程，体会探索发现的乐趣，增强学生学习数学的自信心．

2．目标解析

目标（1）的具体要求：理解三角形的中位线的概念，要求学生明确三角形的中位线与三角形的中线的区别，能运用概念进行判断和推理．

目标（2）的具体要求：通过拼平行四边形活动发现三角形的中位线性质定理，经过严格地证明来体会证明方法的多样性，领会辅助线在解决问题中的作用，从而培养学生分析问题和解决问题的能力，发展学生思维的灵活性．通过应用三角形的中位线定理解决相关的问题，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用．

目标（3）的具体要求：经历“观察—度量—猜想—证明”的过程，让学生感受到成功的喜悦和学习的乐趣，增强学生的好奇心，培养学生良好的学习习惯．

教学问题诊断分析

本节课的教学对象是八年级的学生，通过前面的空间与图形的研究，学生对图形性质的探究充满了浓厚的兴趣，乐于参与探究性活动，并敢于发表自己的独到见解，这有利于开展探究性活动．

由于三角形中位线与三角形中线都是与三角形边的中点有关的线段，学生容易混淆两个概念，在复杂图形中部分学生难以准确、迅速识别．

在平行四边形的性质和判定定理的探究过程中，学生深刻体会到四边形问题通常转化为三角形问题进行研究，而三角形中位线定理可以将三角形问题转化为平行四边形问题或用其他方法进行研究，前者学生以前未曾接触，所以独立证明三角形中位线定理会出现很大的困难，如何添加辅助线构建未知与已知的桥梁是学生认知的一个难点．

基于以上分析，本节课的教学难点：三角形中位线定理的证明．

教学支持条件分析

让学生通过画图、测量去猜测三角形的中位线与第三边的关系，为了使学生更好地理解和掌握本节课的内容，笔者有效利用现代信息技术手段，用几何画板软件制作三角形中位线图形，并利用几何画板软件的测量和动态演示功能，与电子白板相结合，验证猜想的正确性，再引导学生尝试构造平行四边形进行证明．同时，用课件动画演示，让学生理解三角形中位线定理并灵活运用定理解决相关的问题．

教学过程设计

1．引入新课，明确目标

向学生出示本节课的学习目标：

（1）识别三角形中位线．

（2）能通过实践、观察、度量、猜想，归纳出三角形的中位线定理，并会证明．

（3）能运用三角形中位线定理进行证明和计算．

师生活动：教师直接引入新课，并向学生出示本节课的学习目标．

【设计意图】学习目标的出示让学生明确本节课应该学会哪些知识点，掌握哪些基本技能．

2．给出概念，理解辨析

问题1：你知道什么是三角形的中位线吗？

师生活动：教师给出中位线定义，并引导学生说明定义的双层含义，即连接三角形两边的中点的线段是三角形的中位线；反之，三角形的中位线的两个端点是三角形两边的中点，使学生正确理解和掌握定义．

【设计意图】给出三角形的中位线的概念，强调定义的内涵．

追问：画出三角形的中位线，看看一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？

师生活动：学生动手画出图形，观察思考，并将中位线的概念与三角形中线的概念进行对比区分，加深对新概念的理解.同时，教师设置练习，进一步加强学生对概念的辨析，使学生感受到中位线的形成过程．

练习：如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则线段CD是△ABC的______，线段DE是△ABC的_______．

图1

【设计意图】培养学生的动手能力，让学生区分三角形的中位线和中线，能从较复杂的图形中准确找出三角形的中位线，渗透对比和类比的思想．

3．探究性质，深化认知

问题2：将三角形硬纸片沿着中位线剪成两部分，你能拼成一个平行四边形吗？

师生活动：学生动手将课前准备好的三角形纸板用剪刀沿着中位线剪成两部分，试着拼一拼.学生将拼好的纸板用实物展台展示，教师用课件演示三角形纸板剪成两部分后拼平行四边形的过程．

【设计意图】通过动手拼图，得出直观结论，不但激发学生的学习兴趣，而且还刺激了他们的求知欲，放飞学生的思维，让他们去思考、去探索，为三角形的中位线定理证明做铺垫．

问题3：三角形的中位线与三角形的第三边有什么关系？

追问1：研究两条线段的关系，要研究这两条线段的哪两个方面的关系？

师生活动：学生可能只体现出数量关系，此时教师应引导学生，要研究两条线段的关系，先研究它们的位置关系，相交还是平行，垂直关系是相交的特例；再研究它们之间的数量关系，相等还是不等，不相等的话，是倍数关系还是其他关系．

【设计意图】提示学生考虑问题要全面，培养学生严谨的思维．

追问2：如图2，你能发现△ABC的中位线DE与边BC有怎样的位置关系吗？度量一下，DE和BC之间有什么数量关系？

图2

师生活动：三角形的中位线是三角形中一条特殊的线段，那它一定有特殊的性质．教师让学生在事先准备好的三角形纸板上画出一条中位线，通过观察、度量、思考、讨论、交流，猜想三角形的中位线DE与三角形的第三边BC的关系，即DE∥BC，且DE=BC．

为了让学生感知猜想的结论是正确的，教师利用几何画板软件与电子白板相结合，演示三角形的形状和位置发生变化时，中位线与第三边始终保持着平行的位置关系，它们的长度也始终保持一半的关系．

【设计意图】教师调动学生已有的学习经验，引导学生通过亲自动手画图，观察、度量、思考、讨论、交流、归纳，提出猜想．结合多媒体课件和电子白板进行演示，使学生在动态中感知，在静态中思考，大胆猜想三角形的中位线的性质．

问题4：你能证明上面的猜想吗？

追问1：证明两条线段平行的方法有哪些？如何证明两条线段的倍分关系？

师生活动：教师引导学生思考如何证明两条线段平行？证明两条线段平行，则是证明两条线段所在的直线平行，证明两条直线平行的方法有平行四边形的三个判定；平行线的传递性；平行四边形的定义，即平行四边形两组对边分别平行等．但在本问题中，很难用平行四边形的判定证明平行，因此，可以考虑证明两条线段与平行四边形的两条对边共线．

教师引导学生回忆证明两条线段的倍分关系的方法．要证明一条线段等于另一条线段的一半，可以取较长线段的中点，将证明一条线段等于另一条线段的一半转化为证明两条线段相等；也可以将较短的线段延长一倍后，将证明一条线段等于另一条线段的一半转化为证明两条线段相等．证明两条线段相等通常采用证明三角形全等的方法，也可以通过平行四边形的性质来证．

学生积极思考，教师引导，学生结合拼图的过程可能想到：添加辅助线构造平行四边形，将三角形问题转化为平行四边形问题来解决．从而突破了难点，此时，充分挖掘，鼓励学生尝试不同的证明方法，对比看哪种方法更简单．教师完整书写利用平行四边形的判定的证明过程，对于其他的证明思路由学生口述即可．

【设计意图】引导学生证明猜想，体会证明思路的分析方法和把三角形问题转化为平行四边形问题的基本想法，再次体会几何研究的“观察—猜想—证明”过程．

追问2：通过证明，发现上述猜想是正确的．这样我们就得到了三角形的中位线定理．你能归纳出这个定理的具体内容吗？用符号语言如何表示？

师生活动：教师引导学生归纳三角形的中位线定理，结合图形，明确应用定理进行推理的基本模式：

因为DE是△ABC的中位线（已知），

【设计意图】把性质转化为操作程序，培养学生归纳整理能力，引导学生熟练地将文字语言转化为符号语言．

4．应用新知，解决问题

问题5：（1）如图3，EF是△ABC的中位线，若EF=4 cm，则BC=_______，若∠AEF=60°，则∠B= ________．

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连接两条直角边中点的线段长为_________．

图3

图4

（3）如图4，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量点A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10 m，则点A，B间的距离为（）．

（A）15 m（B）25 m

（C）30 m（D）20 m师生活动：教师通过出示题目后让学生口答，并说明理由．

【设计意图】这三道小题，让学生直接利用三角形的中位线定理解决，提高学生运用所学知识解决问题的能力．

例1 如图5，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．

图5

求证：四边形EFGH是平行四边形．

师生活动：先由学生独立思考，若学生有想法，则由学生先说思路，然后教师追问：你是怎样想到的？对学生思路中合理成分进行总结；若学生没有思路，教师可引导学生分析：从条件出发，你能够联想到的结论有哪些？从要证明的结论出发，证明一个四边形是平行四边形可以有哪些方法？启发学生形成准确的证明思路．

【设计意图】教师引导学生应用三角形的中位线定理进行推理，体会得到证明思路的方法．

追问：还有其他的证明方法吗？你更喜欢哪一种证法？

师生活动：结合前面的分析，由学生思考并说出其他的证明方法．

【设计意图】结合例题的进一步追问，教师引导学生多角度思考证明思路，初步学会评价证明思路的合理性．结合平行四边形的判定方法，引导学生由已知中的四边的中点想到利用三角形中位线定理证明两组对边分别平行，或证明一组对边平行且相等，从而用平行四边形的判定定理证明平行四边形．可以根据学生情况体现多种解法．学生从例题中可以归纳出：顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，可以简称为“连四成平”．从而培养学生的归纳整理能力．

5．小结

教师引导学生谈谈本节课自己的收获．

【设计意图】教师引导学生从知识层面回顾三角形的中位线的定义和性质定理，梳理本节课所学知识，培养学生归纳总结的能力，进一步理解“观察—猜想—证明”的研究思路，体会数学思想方法．

6．布置作业

教材习题18.1第11，12题．

目标检测设计

1.如图6，D，E，F分别为△ABC三边上的中点.线段AD叫做△ABC的______，线段DE叫做△ABC的______，DE与AB的位置和数量关系是_____．

图6

【设计意图】考查三角形中位线的定义．

2.三角形各边长为5，9，12，则连接各边中点所构成的三角形的周长是______.

【设计意图】考查三角形中位线定理的应用．

3.如图7，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形……依此类推，第2015个三角形的周长为（）．

图7

【设计意图】考查连续运用三角形的中位线解决问题的能力．

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］丁浩勇．人教版“18.1.2平行四边形的判定（1）”教学设计［J］.中学数学教育（初中版），2015（4）：44-48．

［4］人民教育出版社，课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心．《义务教育教科书·数学》教师教学用书（八年级下册）［M］.北京：人民教育出版社，2013．

收稿日期：2015—12—01

作者简介：何广民（1974—），男，中学一级教师，主要从事初中数学教学和试题研究．