基于教材和学生，创造对数学的理解

【摘要】数学学科的精髓之一在于其内涵的理性精神，这一精髓应贯穿于教师解读教材、设计教学过程与优化教学细节之中。教师唯有对教材做出丰富的解读、把握学生的认知基础，才能创造对数学的理解，有效提升教学效果，发展学生学力。

【关键词】理性精神;数学理解;发展学力

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）38-0055-02

【作者简介】王应标，江苏省清江中学（江苏淮安，223001）副校长，江苏省特级教师，正高级教师。

一、深度解读教材，体现学科的理性精神

陈园园老师执教的这节课是苏教版《高中数学·必修五》“简单的线性规划问题”的第一课时，教材的处理方式为：考查目标函数的几何意义，将线性规划问题转化为与直线截距有关的量。但这种处理方法与学生的数学现实相距较远，因为之前学生并没有系统学习过必修二中有关直线的内容，不了解截距的概念与意义。是服从教材、照本宣科，还是从学生的数学现实出发，超越对教材亦步亦趋的模仿，对所授知识进行更加贴近学生思维实际的解读？陈老师选择了后者。

她深入思考后得出如下认识：一是教学的起点应从学生的数学现实出发来设计，否则只能是教师的单向灌输而无法激起学生思维的真正参与;二是线性规划问题，也可以看成是在线性约束条件下求二元函数的最值问题。目标函数的几何意义离学生思维的最近发展区较远，学生难以将新知纳入到自己的认知结构中去。而把线性约束条件下求二元函数的最值问题，看成是一元函数最值问题的推广与一般化，这样的处理手法，体现了数学一贯的学科特色思维，即遇到特殊问题，总想能否推广，使之具有更大范围的应用价值。同样，遇到陌生问题，总想能否化归为已解决的熟悉问题。教师正是通过自己数学教学中的行为作风，言传身教，让数学的学科价值最大化：首先是让学生掌握知识;其次要通过知识，让学生学到运用数学知识处理问题的方法技巧。但数学教学还不能仅止于此，还需让学生体会诸如数学知识是解决问题的最有效工具、数学知识是纵横联系的、数学是讲推理更讲道理的学科等观念，并对此产生深刻的认同感。对于教材的不同解读，既体现了教师备课过程中的“学生立场”，使得教材更加贴近学生的认知水平，更让数学的学科价值得以彰显。

作为一位有追求的数学教师，“我不创造数学，在数学上我可以没有建树，但我要创造对数学的理解”[1]。陈老师在此次教学中展现出了对于学科教学知识勇于探索的精神，她力求把数学的学术形态转化为易于为学生理解的教学形态，让学生看到了在数学学科特性熏陶下教师具有的独立思考能力与批判意识——数学教学除授受知识外，还要彰显它的学科价值。

“所谓教育就是在任何训练中帮助学生学习思考，但是它也必须帮助学生对他们的思考负责，尽管这个主题适合于所有学科，但它特别切合于数学教育，这是因为数学是这样一个领域，在其中甚至小孩也能解决一个问题并且有把握肯定所得解是正确的。──不是因为教师说它是正确的，而是因为它内在逻辑真是正确的。”[2]这就是数学的理性精神。从长期角度看，教师的这种坚持“逻辑真”的行为潜移默化地影响学生，让学生在数学学习过程中，准确地理解问题，理性地探索问题，求真理、讲道理、究根底、不盲从、善思考。

二、精心设计过程，发展学生的数学学力

在数学课堂教学中，要以数学地认识问题和解决问题为核心任务，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索。本节课的基本线索是：提出问题，理解问题;分解问题，层层递进，即构造二元函数——建立“等z线”——确定最值;反思回顾，确立算法;变式训练，拓展延伸。

本节课的教学起点是一元函数概念的适度推广，让学生建立二元函数的最值概念。从学生已有的“数学现实”出发，学生比较自然地理解二元函数的最值概念，这主要得益于教师对教材的认真研读，“顺势而为”，将线性规划问题转化为函数的最值问题。

本节课的重点是建立求解线性目标函数最值的模型，在解决问题之后，学生反思解决问题的过程，从特殊到一般，归纳出解决线性规划问题的一般步骤：表示可行域，建立“等z线”，探求最值点，求解最值。在这个学习过程中，师生合作交流，以学生为主体，教师只是适度点拨，给予学生充分的时间和空间，让学生体会数学研究的方法：在反思的基础上，从特殊到一般，建立线性规划的算法。

本节课的难点是建立“等z线”。难点突破的第一步是形成认知冲突：面对无数个点，不可能通过列举的办法求出最值。第二步是探求共性：函数值相同的点在一条直线上。第三步是建立“等z线”：由地理学科中把海拔高度相等的点的连线称为等高线，运用类比的方法，创造性地得到“等z线”的概念。

本节课的高潮是学生自己得到最值点。在得到“等z线”之后，教师引导学生进一步思考怎么得到最值点。学生拿出直尺，先动手实验，再想象，得到边界点就是最值点。问题的解决一气呵成，学生充分享受到了思维的乐趣。

本节课通过学生数学地理解问题，经过一步一步的探索，最终建立起一种算法，体现了数学中“模型化”的思维方式。问题的解决过程也是学生主动思考的过程，让我们看到教师的教学理念：数学教学就是数学思维活动的教学。在课堂教学中，教者尊重学生的主体地位：凡是学生能做的，让学生做;凡是学生可能会做的，让学生尝试去做。整节课让我们看到了教师的匠心独运，潜移默化地培养了学生的数学学力。

三、优化教学细节，展示教师的教学素养

教学中陈老师充分体现了信息技术与学科的融合。在定义“等z线”时，她引导学生通过计算函数的值，得出函数值相等的点在一条直线上，借助地理学科的概念，运用类比的方法，合理定义“等z线”，学生得以用数学的眼光理解概念，在此基础上，运用几何画板作出一系列直线，加深学生对概念的理解。在探求最值点时，让学生动手实验，发挥想象力，得出最值点就是边界点，在此基础上，再一次运用几何画板，通过直线的平行移动，从整体上把握函数值的变化，再一次确认最值点就是边界点。如果教学程序倒过来，教学时间可能缩短，学生也许也能理解概念和方法，但是学生失去了一次思维体验，失去了一次自主探究知识的发生发展过程，但这恰恰是数学教学的真谛所在。

由于信息技术的普遍使用，老师们一般都会弱化板书的作用，但是陈老师的板书设计给大家留下了深刻的印象。哪些地方需要板书？板书写在哪里？哪些地方的板书需要留下来，为后续的教学提供铺垫？一节课下来，黑板上留下的板书就如一幅画，给人以艺术的享受。板书中重点内容的突出，有利于教学的顺利展开，有利于学生对知识的理解，更有利于学生整体把握一节课的重难点内容。

此外，陈老师的教学语言亲切、自然、清晰，详略得当，提问语言准确，讲解语言精当，更值得肯定的是：在学生思维受阻时，耐心等待，让课堂静下来，而不是自己充当主角，代替学生主体思考。信息技术和学科的融合、板书的设计以及教师的教学语言充分展示了教师的数学素养和教学素养。

【参考文献】

[1]裴光亚.我是谁？：一个教研员的反思[J].中学数学教学参考，2013（04）：02.

[2]美国国家研究委员会.人人关心数学教育的未来：关于数学教育的未来致国民的一份报告[M].方企勤，叶其孝，丘维声，译.北京：世界图书出版公司，1993.