以应用为导向的工科“线性代数”教学模式改革探索

黄利国 高丽

摘 要 随着科学技术的发展线性方程组有了广泛应用，对于生活中的许多问题都可以用线性方程组来解决。本文结合在“线性代数”教学中对相关知识点的认识，通过对矩阵相关知识的剖析，探讨了矩阵与行列式、向量、向量组线性相关性、线性方程组的解的关系，以方便讲课时将相关知识点对照，加深学生对相应知识点的理解。最后，给出了求解“线性代数”中相关问题的Matlab命令。

关键词 系数矩阵 行列式 向量 线性方程组 Matlab

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.10.060

The Application-oriented Exploration and Reform of Teaching

Mode for the Engineering Students in "Linear Algebra"

HUANG Liguo， GAO Li

（Mathematics Department， Binzhou University， Binzhou， Shandong 256603）

Abstract With the development of science and technology， linear equations have been widely used. It can be used to solve many problem in the life. In the teaching of "Linear Algebra"， we analyze the relevant knowledge of Matrix， and the relationship between Matrix and Determinant， Vector， the linear correlation of Vector Group and the solution of Linear Equations. So that， we can contrast the corresponding knowledge in teaching， which can deepen students' understanding. At last， some matlab command is shown for solving the problems in "Linear Algebra".

Key words Coefficient Matrix; determinant; vector; Linear Equations; Matlab

對于“线性代数”的学习，贯穿始终的一个概念就是矩阵，①②学生对矩阵的理解和相关知识的掌握，直接影响着其对这门课的掌握，特别是在工程领域中，借助于Matlab软件③④对相关内容进行讲解，更有助于学生对知识点的理解，并且对学生参加建模比赛和以后的工作也能起到事半功倍的作用。⑤为了使学生对线性代数有一个系统的掌握，下面对矩阵与线性方程组的相关内容进行总结，并结合Matlab软件举例说明其方便和实用之处。

1 矩阵的相关概念与记号

实数的全体用表示;实维向量的全体用表示;实矩阵的全体用表示。对于给定的矩阵，我们用，和分别表示矩阵的共轭、转置和伴随矩阵;用（）表示的秩;用表示中所有秩为的矩阵的全体。如果，则称为阶方阵;对于给定的阶方阵，我们用（）和（）分别表示的行列式和迹;如果（）≠0，就称是非奇异的。对于非奇异矩阵，用表示的逆矩阵。维向量也可以看成矩阵的特殊情形。维行向量就是1拙卣螅邢蛄烤褪莯？矩阵。可用大写的拉丁字母…或者（）（）…来代表矩阵。为了指明所讨论的矩阵的行数和列数，可以把拙卣笮闯？…，或者，…

2 矩阵的运算

矩阵计算主要用于：

（1）求线性方程组的解，即给定拙卣蠛臀邢蛄浚笪邢蛄渴沟？= ;最特殊地，为阶非奇异方阵，此时方程组 = 的解是唯一的;

（2）计算一个矩阵的特征值和特征向量，即给定一个方阵，求它的全部或部分特征值，或者相应的特征向量。

设，如果存在和满足 = ，≠0，则称是的特征值，是属于的特征向量，的特征值的全体记作（）。容易验证，（）的充分必要条件是（） = 0。因此，多项式（） = （）称作的特征多项式。

显然有（） = （），因此，（） = （）。如果有个互不相同的特征值，，…，，它们作为（）的根的重数分别是（），（），…，（），即（） = ，≠（≠），（） = ，则称（）为的重数;一般将重数为1的特征值称作单特征值。

如果满足 = ，其中是非奇异的阶方阵，则称与相似。容易验证，如果与相似，则（） = （）。因此，相似矩阵有相同的特征多项式，从而它们有相同的特征值。

3 线性方程组的求解

线性方程组

（1）

是人们熟知的计算模型，它在科学与工程计算中扮演着极其重要的角色。线性方程组有广泛应用，熟知的线性规划问题即讨论解有一定约束条件的线性方程组问题。根据实际情况可将线性方程组分为三类，适定方程组、不定方程组和超定方程组。当方程组中实际的方程数等于未知数个数时，这一类方程组称为适定方程组;如果其系数矩阵可逆，适定方程组有唯一的解，求解适定方程组的方法有克莱姆方法、消元法、矩阵分解法、迭代法等;当方程组中实际的方程数少于未知数个数时，这一类方程组称为不定方程组;当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，不定方程组有无穷多组解。根据线性代数的理论和方法，可求得方程组的通解。

线性代数中介绍过行列式解法的Gramer法则。众所周知，如果方程组（1）的系数行列式（）的值异于0，则它有唯一解，运用Gramer法则求解线性方程组虽然原则上可行，但因其计算量过大几乎失去使用价值，但伴随着计算机的发展，该方法得以应用。解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法，在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。

4 Matlab实现

判断向量组的线性相关性的方法：（1）求该向量组构成的矩阵的秩，当矩阵的秩小于向量个数时，向量组线性相关;否则，向量组线性无关;（2）求该向量组构成的矩阵的行最简形，当矩阵的非零行数小于向量个数时，向量组线性相关;否则，向量组线性无关;（3）求以该向量组构成的矩阵为系数的齐次线性方程组的解，当方程组有非零解时，向量组线性相关;否则，向量组线性无关。当线性方程组中方程个数少于变量个数时，方程组有无穷多个解，这时候用Matlab求解得到的是方程组的一个特定解;如果方程的个数多于未知量的个数时，方程组为超定方程组，求得的是一个最小二乘近似解;对于奇异方程组，Matlab不能直接求解，需要对方程组进行同解异构来求解。

注释

① 刘卫锋，周长芹.线性代数教学中的矩阵应用实例[J].中国科技信息，2009.11.

② 同济大学数学系编.线性代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

③ 王利东，刘婧.从应用实例出发的线性代数教学模式探讨[J].数学教育学报，2012.21（3）.

④ 高智中，武洁，王洋军.Matlab在线性代数教学中的几点认识[J].衡水学院学报，2010.12（1）.

⑤ 岳晓鹏，孟晓然.在线性代数教学改革中融入数学建模思想的研究[J].高师理科学刊，2011.31（4）.