数学建模思维与社会生活的有机融合

杨仁刚

【摘要】 一般来说，数学模型是针对具体实物建立起来的，即可在现实生活中找到原型，其目的是为了解决实际问题。它的应用范围非常广泛，在许多领域发挥着重要作用。本文从生活问题入手，分析如何建立其几何模型，探求解決途径，并研究所建模型的应用领域，即还可利用此模型解决的类似问题有哪些。

【关键词】 数学建模 数学模型 几何模型 简化

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2015）01-032-01

0

所谓数学建模就是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。

在实际应用中，数学模型可按不同方式分类。若按建立模型的数学方法分类，则它可分为几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型等。这些模型彼此之间并非绝对孤立，而是互相渗透，互为工具。

在可用数学建模的方法解决的问题中，有些比较简单，只使用其中的一种模型即可。例如，一把梯子斜靠在墙上，如何测得梯子和墙的夹角呢？首先建立梯子的几何模型，即将其假设为一线段，忽略其余各部分。接下来，测量梯长以及从梯子与墙的交点到地面的垂直距离。再利用三角函数，便可计算出夹角。但在解决复杂问题时，仅使用几何方面的知识或者其它某类知识是远远不够的，往往是两类或多类知识综合起来使用，会达到事半功倍的效果。或者在原有模型的基础上，使用几何模型作为辅助手段，也会为问题的解决带来惊喜。

几何模型不是原型，既简单于原型，又高于原型，它是对原物体简化后的产物。几何模型有一定的适用条件，即在所要解决的问题中需出现具体实物，因为要建立所研究问题的几何模型就一定脱离不了具体实物的存在。若问题中没有出现有具体形状的物体，则几何模型也无从谈起。但是由于我们所要解决的实际问题有许多都会涉及到具体实物，所以几何模型的应用范围是很广泛的，地位是举足轻重的。下面举例分析几何模型的具体应用。

问题描述：人在行走时所做的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。在给定速度时，以动作最小（即消耗能量最小）为原则。问走路步长选择多大为合适？

问题分析：此问题若陷入人体复杂的生理结构之中，将会得出过于复杂的模型而失去使用价值。对人体进行合理的简化，是解决问题的首要步骤。由于此例要解决的是步长问题，则人体的生理结构这一复杂因素是可以忽略的。

另外，依靠平时生活经验的积累，可判断影响步长的主要因素有：（1）身高（或腿长h）；（2）体重M.

为简化问题的研究，做以下假设：

（1）假设人体只由躯体和下肢两部分组成，且下肢看作长为、质量为的均匀杆；

（2）设躯体以匀速前进。

模型建立：如图1所示，重心升高δ=h-hcosθ=h-h■■≈■（当l/h较小时）。

腿的转动惯量I=■，角速度w=■，单位时间的步数为 ■.所以单位时间行走所需的动能为wδ=■Iw2■=■.

单位时间内使身体重心升高所做的功为Wδ=mgδ■=■ ，所以单位时间行走所需的总功W=We+ Wδ=■+■.代入n=■，得W=v2■.于是当v一定时，n■ 可使W最小。由l= ■，得l=■v0.求解完毕。

小结

通过研究前面两个问题，我们作以下三点总结：

（1）在上述问题中，我们用几何模型结合物理知识，解决了人体行走中的步长问题。建立模型时，把人体只看作由躯干和下肢两部分组成，是对人体的第一次简化；接着又将下肢看作长为、质量为的均匀杆，是对人体的第二次简化。两次简化对问题的解决起到了关键作用，既合理简化了问题，又未因过分简化而使模型失去其使用价值。而在第二个问题的模型建立中，将人体直接看成是一个长方体的物体。通过对比我们可以看出，在解决不同的实际问题时，对同一物体可根据实际需要做出不同的模型假设。数学模型的建立是一个对模型反复推敲不断完善的过程。虽然建立模型是为了简化问题，但有时这种简化是过度的，即得到的结果与现实情况出入过大。这时就需要返回问题分析这一步骤，对模型原有假设进行修改，使其逐渐向原型靠近，从而得出合理的结论。

（2）此外，还有很多物体运动值得我们研究。例如汽车刹车距离问题，即两车之间保持多长距离能保证司机在发生意外时可以及时刹车。在汽车驾驶中有这样的规则：正常驾驶条件下车速每增加10，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度。有人根据这一规则，推出了所谓的“2秒准则”，即后车司机若能在前车经过某一标志的2秒钟后到达同一标志，则此时两车之间的距离刚好。这个准则的合理性如何，是否有更好的准则？这些问题都值得研究。如果此准则合理，就可以确定两车在驾驶过程中应保持的车距了。

通过分析研究以上问题，我们可以更加深刻地体会到几何模型在现实生活中的重要作用，利用它可以许多棘手问题。随着数学以空前的广度和深度向一切领域的渗透，和计算机的出现与飞速发展，数学建模将越来越受到人们的重视。几何模型作为数学建模必不可少的工具，也必将有更多的空间施展拳脚。