高中数学高考中数列题的解题策略分析

2015-07-04 03:19封利峰
世纪之星·交流版 2015年4期
关键词:解题策略高中数学

封利峰

摘 要:数列数高中数学中的重要知识点,也是高考的必考内容。数列主要可以分为两个大类,即等差数列和等比数列。高考中的数列题目基本上都是以这两类数列形式出现,对数列基础知识和相关解题方法进行了考察。因此,在学习数列知识的过程中,需要结合高考考查方向,进行针对性的学习,提升解题水平。本文对高中数列做了简单介绍,深入分析了解题策略,以期促进数列教学。

关键词:高中数学;数列题;解题策略

数列是一种离散型函数,在高中数学中占有重要地位。关于数学解题的方法和思想都比较多,在面对实际题目的时候,应该根据题目所表现出的基本性质,选择合理的手段进行解题,以便提升解题速率和准确度。

一、数列的含义

首先需要明确的是,数列是函数的一种特殊形式,从本质上来说,数列也属于函数范畴。数列的特殊性主要表现在定义域和值域这两个方面。数列的定义域可以是單独的数,也可以是连续的范围。通过函数的相关思想来认识数列是很关键的,函数主要有三种表示方法,而数列也可以通过三种形式进行表现,即列举法、图像法和解析法。列举法就是对数列包含的元素进行列举,比如三原色包括了{红、绿、蓝},这就是一个列举型数列;图像法是通过图像对数列进行表示;解析法是通过解析式表示数列的范围,解析式一般可以分为递推公式和通项公式。函数不一定存在解析式,数列也不一定存在通项公式,这是在解答相关数列题目过程中需要时刻注意的。

数列根据其变化规律可以分为等比数列、等差数列以及自然数列;如果数列包含的项数有限,数列就可以称为有限数列;如果数列包含的项数无限,数列就可以称为无限数列。就高考而言,主要考查对象就是等差数列和等比数列这两种数列形式。因此,在学习过程中,需要加强这两部分知识的学习。

二、数列题解题策略

(一)明确高考考点

明确高考考点是学习数列知识的重要环节,只有明确高考的考查重点,再进行针对性学习,才能有效提升学习成果。否则,学习没有重点就很容易导致学习成效低下。

递推数列是高考考查的重点知识,近些年在各省高考试题中的出现频率很高。因此,需要加强对递推数列相关知识的学习和题目解答。解决递推数列题目的关键有三个:第一,将递推数列转化为等比数列或等差数列,再进行求解;第二,研究数列性质,利用递推关系直接求解;第三,利用数学归纳法进行求解。

比如,有这样一道题目:已知有不等式|f(x)|≤|2x2+4x-30|对任意x∈R 恒成立,又有函数f(x)=x2+ax+b (a,b∈R),数列列{an}符合:a1=1/2,2an =f(an-1)+15 (n≥2,n∈N* ),数列{bn}符合:bn=1/(an+2)(n∈N* ),试求a,b的值;若Sn为数列{bn}的前n项和,前n项积为Tn,试求Sn+2n+1Tn。

对于这个题目而言,可以解出2x2+4x-30=0的根为:x=3或x=-5。当x=3时,可以得出f(x)=x2+ax+b=(x-3)(x+5)=x2+2x-15,进一步得出a=2和b=-15。当x=-,5时,可以得出f(-5)=0,,即-5是f(x)的一个零点。由此,就可以得出a值为2,b值为-15。

对于第二问,可以先算出bn,即把a值和b值带入数列{an},求出an后再将其带入bn,进而可以得出bn=1/(an+2)=an/2an+1。在此基础上,可以求出Tn=1/2n+1an+1。Sn=2-1/an+1,进而就可以得出Sn+2n+1Tn=2-1/an+1+2n+1·1/2n+1an+1=2.

(二)与不等式结合

在高中中,对数列知识的考察往往会和其他知识点结合,进行综合考察。不等式就是与数列结合最为常见的一种形式,也是高考中常见的一类数列题型。因此,在学习数列的过程中,就应该对这部分题目加强练习。

已知数列{an}满足:an+1-2/an=an-2/an-1(n≥2),a1=1,a2=3。如果bn=1/(1+an),试求{bn}通项公式;试证明|a1-2|+|a2-2|+…+|an-2|<3。

对于这个题目,就考查了数列和不等式的基本知识,因此需要结合两方面的知识进行综合解题。对于第一问,根据已知可以得出an+1-2/an=1,将其进行变形可以得到1/(1+an+1)=1/2[1-1/(1+an)],可以得出bn+1=1/2(1-bn),经过进一步变换可以得出bn-1/3=-1/3(-1/2)n,即bn=1/3[1-(-1/2)n],此即为{bn}的通项公式。

对于第二问,可以根据第一问的结果进行相应变形,得出3(1-1/22k)<3,在将其带入不等式中就可以得出原不等式小于3(1-1/22k)+3/(22k+1+1)<3,进而得出|a1-2|+|a2-2|+…+|an-2|<3。

(三)与解析几何结合

解析几何是数列知识考查的另一个方面,通常是以直线、曲线为基础展开数列知识考查。在遇到这类题目时,应该把问题细化为几个小的部分,在根据之间的相互关系,从基础入手,逐一解答相关问题。

比如,有抛物线C:y=x2,有一斜率为ko的直线lo从原点O出发,交抛物线于O、A1两点,点A1(x1,y1),经过点A1的直线l1交抛物线于点A2(x2,y2),以此类推,点An+1(xn+1,yn+1),已知kn=kon+1,试求x1,x2,······,xn的递推关系;试求数列{xn}通项。对于这个题目,首先可以由抛物线方程和直线lo的方程解出点A1,然后再将其带入直线l1的方程,以此类推,就可以得出kn=xn+1+xn=kon+1,此即为x1,x2,······,xn的递推关系。对于第二问,可以对第一问中的递推关系进行构造,进而得出xn=[kon+1-(-1)nko]/ko+1。

根据这道题目的解题过程中不难看出,与解析几何结合是数列考察的一种方式。在学习过程中,需要加强数列知识的综合运用。

三、结语

数列知识是高中数学的考察重点,是高考的必考内容。在数列解题的过程中,需要明确高考考点,加强数列与不等式、解析几何的结合,综合运用相关知识,提升数列解题能力。

参考文献:

[1]王志英.高中数学数列教学设计中的实践探讨[J].沙棘:教育纵横,2010,12.

[2]高东.高中数学数列教学探讨[J].语数外学习,2013,05.

猜你喜欢
解题策略高中数学
如何培养学生数学解题能力
谈高考对弹性势能的考查
略谈整体性思维在化学解题中的应用策略
初中数学解题策略实践应用研究
论高中数学的解题策略
常见遗传试题归类分析
高中数学教学中的“情景—问题”教学模式研究
分层教学在高中数学中的研究
高中数学数列教学中的策略选取研究
调查分析高中数学课程算法教学现状及策略