线性代数：从几何中抽象

梅丽

【摘要】对目前流行的国内线性代数教材的主要内容进行了分析，指出其明确的几何意义，通过几何直观和形象思维讨论其抽象思维过程，借助其几何意义可以帮助理解其抽象性，从而更好掌握其内容，对线性代数教学具有一定指导意义.

【关键词】线性代数；几何；抽象思维

线性代数是研究线性空间和线性变换的一门学科，其核心内容包括矩阵以及向量空间理论，这些概念和理论不仅为各个专业领域提出相关问题时提供了准确的数学表达语言，而且也为解决问题准备了有力的工具.线性代数的主要内容有矩阵与线性方程组、矩阵代数、向量与向量空间、行列式、线性变换、欧氏空间等.现在，它的一些成果已经被广泛应用到了概率统计、微分方程、离散数学等数学学科，并对这些学科的发展起到了积极的推动作用.它是大学阶段理工科、经济、管理等学科有关专业的重要数学基础课之一，对提高学生思维品质以及分析问题和解决问题的能力都有很大帮助.但由于课程本身高度的抽象性和逻辑性，很多学生掌握不好，有的同学即使上课听懂了，但是做起作业来又感到特别困难，从而影响了对后续数学课程甚至专业课程的学习.究其原因，在于学生对线性代数中的基本概念、结论等掌握得不准确，而抽象性是学生学习线性代数的障碍和困难所在.

抽象性是线性代数的一大特点，正是其抽象性决定了其应用的广泛性.线性代数的教材中到处可见抽象定义，这是由线性代数这门学科本身的特点决定了的.抽象本身并非坏事，“一切科学的抽象，都更深刻、更正确，更完全地反映着自然”（列宁语），在线性代数教学中我们要培养学生的抽象思维能力，却要克服这种抽象带来的困难，使学生消除对线性代数的抽象感、陌生感和恐惧感，从而激活其求知欲，增强学好、用好线性代数的信心.

形象思维与抽象思维是思维过程中两个不同质的阶段，它们是辩证统一的.数学的抽象离不开形象直观，线性代数正是这样，虽然抽象，却有非常明确的几何意义，借助其直观意义可以帮助理解其抽象性，从而更好掌握其内容，下面以几个例子加以说明.

一、行列式的概念

行列式是线性代数中的重要内容之一，它在线性代数中有很多应用，因此，学好行列式是非常重要的.但是大多数教材中，介绍行列式概念时采用了比较抽象的定义方式.对此，很多学生只会机械记忆、死记硬背而不能理解其意义，以至于对n阶行列式的概念感到无所适从.事实上，一般教科书中都首先介绍了二阶和三阶行列式作为过渡，但在给出一般n阶行列式定义时仍然比较抽象，这时可以继续以四阶行列式作为过渡，将四阶行列式作为具体例子详细讨论其定义然后再过渡到一般n阶行列式定义，实践证明效果较好.

为了加深对n阶行列式含义的理解，还可以从几何意义上加以抽象.对于二阶行列式D2=a11 a12a21 a22就是以向量α1=（a11，a12），α2=（a21，a22）為边的平行四边形的有向面积；当平行四边形是由α1沿逆时针方向转到α2形成时，面积为正；而当平行四边形是由α1沿顺时针方向转到α2形成时，面积为负.同样三阶行列式的值就是三个向量α1，α2，α3在空间形成的平行六面体的体积，当α1，α2，α3构成右手系时，体积为正；而当α1，α2，α3构成左手系时，体积为负.这样不难得到n阶行列式的几何意义（n个n维向量构成的平行多面体的有向体积）.

二、n 维向量空间

线性代数的中心课题是向量空间，n维向量空间中向量之间的关系特别是线性相关性一直是该课程的难点.要使学生理解一般n维向量空间，可以以一维、二维、三维几何空间为实例模型.一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，可以将一、二、三维空间中的点（向量）推广到四维乃至一般的n维向量空间中的点（向量），一般一、二、三维空间中的线性运算推广到一般的n维向量空间.由于n维向量空间中的向量有无限，因而有必要讨论向量之间的关系，可以分为四类，即向量与向量之间的关系，向量与向量组之间的关系，向量组与向量组之间的关系，向量组内向量之间的关系，它们是一、二、三维空间中向量共线、共面关系的推广.

三、 线性方程组解的理论

在二、三维空间中的线性方程表示的是直线或平面，一般n维向量空间中的线性方程可以表示n维向量空间中的超平面，由三维空间中平面的相交情况可以推出三元一次方程组解的情况，将之推广，可得一般n维向量空间中n个未知量的线性方程组解的情况.对于一般的线性方程组可能有解可能无解，无解对应的是这些超平面没有公共交点，有解对应的是这些超平面至少有一个交点，交点可以唯一、成一直线（或一超平面），从而得到线性方程组解的结构.这样做，会达到使学生对两种数学结构（一个是线性代数结构，一个是空间解析几何关系结构） 的认识互相联系，互相增强.

四、二次型

将二、三维空间中的直线或平面推广到一般n维向量空间中的超平面以后，接下来的问题是将二维空间中的二次曲线与三维空间中的二次曲面推广到一般n维向量空间中的超二次曲面

2a13xz+2a23yz的化简与分类.一般n维向量空间中超二次曲面的形状（图形性质）自然就由n个变量的二次齐次式 f（x1，x2，…，xn）=∑ni=1∑nj=1aijxixj 确定，它就是一个n元二次型（n维向量空间中的超二次曲面）.与二维空间中的曲线、三维空间中的曲面研究类似，欲知n维向量空间中的超二次曲面的形状，就必须对二次型化简，化二次型所用的变换一般为射影变换，它改变了曲线的形状，只有在所用的变换为正交变换时才不改变曲线的形状.讲完二次型的理论之后，自然应该回过头来用二次型的理论研究一般曲线或曲面的化简与分类问题.

五、 矩阵与线性变换

二维空间中旋转变换 x′=cosθx+sinθyy′=-sinθx+cosθy 可以用矩阵表示为

x′y′= cosθ[]sinθ-sinθ[]cosθxy，x′y′=a[]00[]dxy表示二维空间中相似变换，

x′y′=-1[]0 0[]1xy或x′y′=1[]00[]-1xy都表示二维空间中的对称变换，而

x′y′=a[]bc[]dxy表示二维空间中一般变换.n维向量空间中的一般变换自然就可以表示为X′=AX，其中变换的性质（分类）取决于矩阵A的性质，一个矩阵是一个线性变换在选定基底下的表示，两个矩阵A，B 相似，就是同一线性变换在两组不同基下两种表示之间的关系.正交矩阵、对角矩阵、对称矩阵分别是二维空间中相应变换的抽象.

六、内积空间

将二维、三维空间抽象到一般内积空间，得到一般向量的长度、向量的夹角、标准正交基等概念，就有了正交变换并可以用以研究二次型.

需要指出的是，线性代数虽然是普通几何内容的抽象，但是并没有将所有的几何内容都抽象到线性代数里来，所以还有很多内容值得学生去探究，比如一般内积空间中点到超平面（曲面）的距离、外积混合积等等.

数学的抽象和其他事物一样，是在逐渐的不显著的量变的积累过程中，经过一系列阶段而产生、形成和发展起來的，学生在学习的过程中，抽象思维能力的形成和发展也不例外，它是通过对数学知识、技能的理解和逐步掌握而形成发展的，教师要善于引导，从形象思维逐步过渡到抽象思维.

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