运用过程性变式提升初中生数学问题解决能力

宋延宏 李三平

摘 要 变式教学在我国已成为比较成熟的教学理论，是有效地促进学生数学学习的一种“中国式”方法。过程性变式是变式教学的一种形式，它有助于数学活动经验的形成。本文以“求解方程模型应用题”为例，阐述过程性变式对初中生问题解决能力的影响。

关键词 变式教学 过程性变式 提升 问题解决能力

中图分类号：G424文献标识码：A

Use of Process Variants Elevator to Improve Junior High

School Students' Math Problem-solving Skills

SONG Yanhong， LI Sanping

（School of Mathematics and Information Science， Shaanxi Normal University， Xi'an， Shaanxi 710062）

Abstract Variant teaching in China has become more mature teaching theory， is effective in promoting a student of mathematics learning， "Chinese-style" approach. Procedural variant is a variant form of teaching， it helps to form a mathematical experience activities. In this paper， "problem solving equations model" as an example to explain the process of the variants of the junior high school students problem solving capabilities.

Key words variation teaching; procedural variant; improve; problem-solving skills

如何帮助学生从“机械地搬用知识”走向“灵活地驾驭知识”，这是教师进行有效教学需要解决的问题。初中学生正处于形式运算阶段，具有一定的推理能力，能从多维度对抽象的性质进行思维。①数学教学中提升学生的数学思维能力与问题解决能力非常必要，而过程性变式的运用可以帮助学生发散思维，灵活地分析、解决问题以形成丰富的活动经验，也有助于提高他们的学习效率。

1 变式教学

传统意义上的变式教学主要用于讲授学科概念，目的是为了帮助学生多角度、多层次地理解知识。我们知道，学习者的认知结构不仅仅包含了知识体系，还应包括经验系统。因此，数学教学除了概念教学外，还应有数学活动经验的教学，这也是我国基础教育数学新课程改革特别提倡的。顾泠沅教授于1981年提出了“过程性变式”的概念，②2003年鲍建生教授等根据我国变式教学的研究和实践情况，多角度剖析了“变式教学”，并将“变式教学”中的“变式”区分为“概念性变式”和“过程性变式”。这样区分对于我们更好地理解“变式教学”有特别重要的意义。

过程性变式的概念隶属于变式教学，其含义主要是“在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验”，主要“用于概念的形成、问题解决和建构经验活动体系”。③而将过程性变式用于问题解决的教学中，教师适时地通过设置多角度、多层次的由浅入深的变式，将有助于学生形成良好完善的认知结构，灵活地解决问题，融会贯通。这样，不仅提升学生的数学素养，也有助于实现数学课堂教学的高效性。

2 过程性变式有助于改善初中生数学问题解决能力

本文将结合“求解方程模型应用题”的具体实例阐述过程性变式对初中生问题解决能力的影响。

2.1 运用过程性变式，培养学生分析问题的能力

问题1：甲乙两站相距480千米，A车从甲站开出，每小时行驶90千米，B车从乙站开出，每小时行驶70千米。如果两车同时开出，经过多长时间相遇？

变式1：甲乙两站相距480千米，A车从甲站开出，每小时行驶90千米，B车从乙站开出，每小时行驶70千米。若A车开出1小时后B车再开，两车相向而行，问：B车开出多长时间后两车相遇？

变式2：甲乙两站相距480千米，A、B两车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，3小时后在途中相遇。然后，A车返回甲地，B车继续前进。当A车回到甲地，B车离甲地还有60千米，求A、B两车的速度。

变式3：运动场的跑道一圈长400米。小健练习骑自行车，平均每分骑90米，小康练习跑步，平均每分跑70米。两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？

问题1是用一元一次方程解决行程问题的一个典型实例，通过学习和解答，有利于帮助学生形成方程解题的思想。为了加深学生对方程思想的理解，让学生运用这一思想更深入地探究行程问题的本质，可对问题1作以上几个变式：①变式1是改变了问题1的条件，学生仅靠对公式“S=vt”的机械套用难以解决问题，这个变式主要是引导学生根据具体情况对公式先变式再运用;②变式2改变了提问的内容（即所求的未知量），较之前两种问法，需要学习者深入分析，从已知中找准数量关系;③变式3改变了问题1的背景。容易引起学生的误解，停留于表面而产生畏惧心理。事实上，只要教师引导学生从实际问题中抽象出数学模型，学生自己会根据已有的数学基础将问题归类并加以解决。一题多变，学生通过少而精的变式练习学会分析問题，清楚地认识到问题的解决过程以及问题自身结构，体会问题中蕴含的数学思想方法并合理地运用。同时，这种变式训练让学生意识到“数学问题解决的一个基本思路是把没有解决的问题化归为已经解决的问题，复杂的问题化归为简单的问题”。④问题分析能力的提升将是学生迈出成功解决问题的第一步。

2.2 运用过程性变式，拓展学生的数学思维

问题2：现有一长方形的铁皮，小明欲通过割补使它的长减少5厘米，宽增加2厘米后变成一块与之等面积的正方形铁皮。问：原来这块铁皮的长、宽各是多少？

对于问题2，大部分学生直接入题，依据“割补前后铁皮总面积和边长的变化”找出数量关系。若设原来这块铁皮的长为厘米，宽为厘米，则可列出二元一次方程组。也有一部分同学借助具体的图形（如图1），由于割补前后铁皮的面积不变，所以不难发现阴影部分两个矩形的面积相等。因此，可列出二元一次方程组。

以上是两种常规的解法，教师还可以引导学生进一步去思考：这道题能否用其他的方法求解？不妨转化一下思路，运用逆向思维分析这道题目，为了减少变元，设割补后所得正方形的边长为厘米。然后用代数式来表示原长方形铁皮的长为（+5）厘米、宽为（2）厘米，依据“割补前后铁皮的面积不变”列出方程： = （+5）（2）。

一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程解答同一道数学问题。⑤通过一题多解的练习，学生的数学活动经验有所增长的同时也使得知识体系更加完善。教师通过引导学生寻求同一问题的不同解决途径，拓展学生的数学思维，提高课堂效率，提升学生对数学知识的应用能力，有效地促进了学生的知识体系的完善。

2.3 运用过程性变式，提高学生模型迁移能力

问题3：现有浓度为10%和85%的盐水。小强要配制浓度为45%的盐水12千克，问：这两种盐水各需多少千克？

变式1：一家便利商店现有一些每千克卖4.6元的糖果和每千克卖3.4元的糖果。根据销售情况，需要将现有糖果混合，得到每千克卖4.2元的杂拌糖200千克。请帮助老板设计出糖果的混合方案。

问题3可根据“溶液和溶质在配制前后总质量不变”找出数量关系，通过列二元一次方程组就可以解决。变式1是日常生活中的问题，在解决了问题3后，教师要有意地引导学生观察两个问题之间的异同。不难发现变式1仅改变了问题3的背景和提问的方式，换汤不换药，因此可以把它化歸为问题3中涉及到的浓度问题。先找出不变量即“混合前后糖果的总质量和总售额是不变的”，再根据已知的数量关系用方程模型解决问题。学生通过对问题的类比归纳，能够用同一方法解决相似的问题，这有利于学生相关经验系统的构建，同时也将会提高学生问题解决中的模型迁移能力。教师运用过程性变式，指导学生“变中寻求不变”，又以“不变的模型”应万变，从而引导学生从“学会”变为“会学”。

“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，这是《义务教育数学课程标准（2011）》中提出的数学课程的基本理念。“在良好的数学基础上谋求学生的数学发展”这也是中国数学教育的特色。⑥因此，从实际教学情况出发，根据教学目标，精选例题，合理有效地运用过程性变式帮助学生提升解决问题的能力，优化认知结构，实施高效的课堂教学，无疑是每位教师的追求。

注释

① 陈琦，刘儒德.当代教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2007.

②③鲍建生，黄金荣，易凌峰，顾泠沅.变式教学研究（续）[J].数学教学，2003（3）.

④ 顾泠沅，黄金荣，费兰伦斯.马顿.变式教学：促进有效的数学学习的中国方式[J].云南教育，2007（3）.

⑤ 吴佑华.有效变式：为数学课堂生成智慧溢彩[J].数学教学研究，2010（8）.

⑥ 张奠宙.建设中国特色的数学教育理论[J].数学通报，2010（1）.