从最值问题中体会数形结合思想

江孝玲

摘 要： 渗透数形结合思想对培养学生的解题能力非常重要，其中包括学生的运算能力和利用数学思想解题的能力，数形结合思想贯穿整个初中数学的始终，强化学生能力.本文以最值为例谈谈对数形结合思想的认识.

关键词： 数形结合思想 最值 化繁为简 解题能力

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，通过“以形助数”或“以数解形”可使很多问题迎刃而解，以形助数是指借助形的几何直观阐明数的某种关系，以数助形是借助数的精确性阐明形的某种属性.运用数形结合不仅能直观发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程.所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在.

渗透数形结合的思想对培养学生的解题能力非常重要，这其中包括学生的运算能力和利用数学思想解题的能力，数形结合思想贯穿初中数学的始终，使学生的能力达到一个更高的层次.本文就以最值为例谈谈对数形结合思想的认识.

一、数轴中的数形结合思想

例1：求|x-3|+|x+1|的最小值.

对于这道题目，很多同学不知所措，有一部分同学可能会通过分类讨论去绝对值，把这个式子化简，结果得到很多关于x的代数式.虽然最终得出了这道题的答案，但是过程偏繁.其实这道题目我们可以借助数轴，在数轴上找到两个数3和-1，那么这个式子可以看成是数轴上的数x与3的距离加上x与-1的距离之和，而当x在这两个数之间时，距离之和最小.此题借助了数形结合的思想，少了很多的计算，从图形上立即就观察出来，问题迎刃而解.

二、最短路径问题中的数形结合

例2：在平面直角坐标系中的点A（0，2），B（4，1）.在x轴上取一点P，使得P点到A，B两点的距离之和最小，求点P的坐标和最小值.

解析：如果这道题目我们假设P（x，0），则距离之和可以表示为 + ，那么利用我们初中所学的知识根本就解决不了.但如果我们先画出图形去分析，最后得出这道题目可以利用两点之间线段最短的原理或者利用三角形两边之和大于第三边的理论，那么这道题目就轻而易举地解决了.可以先作A关于x轴的对称点A ，然后连接点A 和点B，A B与x轴的交点就是点P，然后可以利用直线解析式或者相似的方法求出点P的坐标，再利用勾股定理可以算出最小值.这题很好地体现了数形结合思想，也说明了勾股定理和相似在计算中的重要性.

三、函数最值问题中的数形结合

数形结合解几何最值问题，适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解.（1）利用一元二次方程必定有解的代数模型，再运用判别式求几何最值.（2）构造二次函数，求几何最值.

例3：已知经过点A（3，0），B（1，0），C（0，3）的抛物线，在第四象限的抛物线上找一个点P，使得△ABP的面积最大.

解析：因为底边AB不变，要让面积最大，只要高线最大，我们发现可以过点P作一条与AB平行的直线，当平行直线与抛物线有一个交点时，△ABP面积最大.通过图形的分析，接下来我们就可以利用代数的方法求值.先求出抛物线的解析式y=x -4x+3，然后假设出平行直线的解析式y=-x+b，利用这两个式子联立方程组，化简得到一元二次方程x -3x+3-b=0，再利用判别式等于0求出b的值，再代回去求出点P坐标.这道题目我们也可以利用割补的方法先找到求△ABP面积的方法，然后表示出面积，最后用最值公式求出.

四、应用性问题中的数形结合

例：某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某生按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500.（1）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

解析：由第（1）小题求得w=-x +600x-5000，很多同学在第二小题求取值范围时会得出-x +600x-5000≥3000的不等式，然后会得出错误的结论，其实这是一个一元二次不等式，我们并没有学过，这道题目应该借助二次函数.我们可以先画出w=-x +600x-5000的图像，在图像上找到w≥3000的图像，从而得到x的取值范围.这就是典型的数形结合.学生的完成情况不是很理想，很少有学生顺利地解出这道题目，所以数形结合思想在平时的渗透非常重要.

数形结合是一种非常有效的数学思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”“数形结合”的方法可谓独树一帜，以其新颖的题型、独特的思维方式，吸引考生与教师的眼球.这类题目通常乍看起来十分陌生，像是从未碰到过的新题，但是仔细分析思考以后，便发现要解决这种题目并不难，只需要画一张图，将题目所给的信息、条件在图上表示，题目的答案便应运而生.这类题型是对题海战术的挑战，是对传统教学方式的颠覆，这类题型的出现，提醒我们“授之以鱼，不如授之以渔”.总之，数形结合是数学问题解决的重要方法，也是一种重要的数学思想，充分利用“形”把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、直观，从而丰富学生的表象，引发联想，探索规律，得到结论.这正符合学生从形象思维向抽象思维过渡的认知特点，在数学教学中应有意识地强调与渗透.

参考文献：

[1]端方林.应用题中的数学建模举例.中小学数学，2004.6.

[2]程华.中学数学思想方法教学问题的思考.初中数学教与学，2013.5.

[3]杨建.抛物线弓形三角形面积最大值的探究.中学数学杂志，2011.8.endprint

摘 要： 渗透数形结合思想对培养学生的解题能力非常重要，其中包括学生的运算能力和利用数学思想解题的能力，数形结合思想贯穿整个初中数学的始终，强化学生能力.本文以最值为例谈谈对数形结合思想的认识.

关键词： 数形结合思想 最值 化繁为简 解题能力

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，通过“以形助数”或“以数解形”可使很多问题迎刃而解，以形助数是指借助形的几何直观阐明数的某种关系，以数助形是借助数的精确性阐明形的某种属性.运用数形结合不仅能直观发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程.所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在.

渗透数形结合的思想对培养学生的解题能力非常重要，这其中包括学生的运算能力和利用数学思想解题的能力，数形结合思想贯穿初中数学的始终，使学生的能力达到一个更高的层次.本文就以最值为例谈谈对数形结合思想的认识.

一、数轴中的数形结合思想

例1：求|x-3|+|x+1|的最小值.

对于这道题目，很多同学不知所措，有一部分同学可能会通过分类讨论去绝对值，把这个式子化简，结果得到很多关于x的代数式.虽然最终得出了这道题的答案，但是过程偏繁.其实这道题目我们可以借助数轴，在数轴上找到两个数3和-1，那么这个式子可以看成是数轴上的数x与3的距离加上x与-1的距离之和，而当x在这两个数之间时，距离之和最小.此题借助了数形结合的思想，少了很多的计算，从图形上立即就观察出来，问题迎刃而解.

二、最短路径问题中的数形结合

例2：在平面直角坐标系中的点A（0，2），B（4，1）.在x轴上取一点P，使得P点到A，B两点的距离之和最小，求点P的坐标和最小值.

解析：如果这道题目我们假设P（x，0），则距离之和可以表示为 + ，那么利用我们初中所学的知识根本就解决不了.但如果我们先画出图形去分析，最后得出这道题目可以利用两点之间线段最短的原理或者利用三角形两边之和大于第三边的理论，那么这道题目就轻而易举地解决了.可以先作A关于x轴的对称点A ，然后连接点A 和点B，A B与x轴的交点就是点P，然后可以利用直线解析式或者相似的方法求出点P的坐标，再利用勾股定理可以算出最小值.这题很好地体现了数形结合思想，也说明了勾股定理和相似在计算中的重要性.

三、函数最值问题中的数形结合

数形结合解几何最值问题，适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解.（1）利用一元二次方程必定有解的代数模型，再运用判别式求几何最值.（2）构造二次函数，求几何最值.

例3：已知经过点A（3，0），B（1，0），C（0，3）的抛物线，在第四象限的抛物线上找一个点P，使得△ABP的面积最大.

解析：因为底边AB不变，要让面积最大，只要高线最大，我们发现可以过点P作一条与AB平行的直线，当平行直线与抛物线有一个交点时，△ABP面积最大.通过图形的分析，接下来我们就可以利用代数的方法求值.先求出抛物线的解析式y=x -4x+3，然后假设出平行直线的解析式y=-x+b，利用这两个式子联立方程组，化简得到一元二次方程x -3x+3-b=0，再利用判别式等于0求出b的值，再代回去求出点P坐标.这道题目我们也可以利用割补的方法先找到求△ABP面积的方法，然后表示出面积，最后用最值公式求出.

四、应用性问题中的数形结合

例：某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某生按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500.（1）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

解析：由第（1）小题求得w=-x +600x-5000，很多同学在第二小题求取值范围时会得出-x +600x-5000≥3000的不等式，然后会得出错误的结论，其实这是一个一元二次不等式，我们并没有学过，这道题目应该借助二次函数.我们可以先画出w=-x +600x-5000的图像，在图像上找到w≥3000的图像，从而得到x的取值范围.这就是典型的数形结合.学生的完成情况不是很理想，很少有学生顺利地解出这道题目，所以数形结合思想在平时的渗透非常重要.

数形结合是一种非常有效的数学思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”“数形结合”的方法可谓独树一帜，以其新颖的题型、独特的思维方式，吸引考生与教师的眼球.这类题目通常乍看起来十分陌生，像是从未碰到过的新题，但是仔细分析思考以后，便发现要解决这种题目并不难，只需要画一张图，将题目所给的信息、条件在图上表示，题目的答案便应运而生.这类题型是对题海战术的挑战，是对传统教学方式的颠覆，这类题型的出现，提醒我们“授之以鱼，不如授之以渔”.总之，数形结合是数学问题解决的重要方法，也是一种重要的数学思想，充分利用“形”把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、直观，从而丰富学生的表象，引发联想，探索规律，得到结论.这正符合学生从形象思维向抽象思维过渡的认知特点，在数学教学中应有意识地强调与渗透.

参考文献：

[1]端方林.应用题中的数学建模举例.中小学数学，2004.6.

[2]程华.中学数学思想方法教学问题的思考.初中数学教与学，2013.5.

[3]杨建.抛物线弓形三角形面积最大值的探究.中学数学杂志，2011.8.endprint

摘 要： 渗透数形结合思想对培养学生的解题能力非常重要，其中包括学生的运算能力和利用数学思想解题的能力，数形结合思想贯穿整个初中数学的始终，强化学生能力.本文以最值为例谈谈对数形结合思想的认识.

关键词： 数形结合思想 最值 化繁为简 解题能力

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，通过“以形助数”或“以数解形”可使很多问题迎刃而解，以形助数是指借助形的几何直观阐明数的某种关系，以数助形是借助数的精确性阐明形的某种属性.运用数形结合不仅能直观发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程.所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在.

渗透数形结合的思想对培养学生的解题能力非常重要，这其中包括学生的运算能力和利用数学思想解题的能力，数形结合思想贯穿初中数学的始终，使学生的能力达到一个更高的层次.本文就以最值为例谈谈对数形结合思想的认识.

一、数轴中的数形结合思想

例1：求|x-3|+|x+1|的最小值.

对于这道题目，很多同学不知所措，有一部分同学可能会通过分类讨论去绝对值，把这个式子化简，结果得到很多关于x的代数式.虽然最终得出了这道题的答案，但是过程偏繁.其实这道题目我们可以借助数轴，在数轴上找到两个数3和-1，那么这个式子可以看成是数轴上的数x与3的距离加上x与-1的距离之和，而当x在这两个数之间时，距离之和最小.此题借助了数形结合的思想，少了很多的计算，从图形上立即就观察出来，问题迎刃而解.

二、最短路径问题中的数形结合

例2：在平面直角坐标系中的点A（0，2），B（4，1）.在x轴上取一点P，使得P点到A，B两点的距离之和最小，求点P的坐标和最小值.

解析：如果这道题目我们假设P（x，0），则距离之和可以表示为 + ，那么利用我们初中所学的知识根本就解决不了.但如果我们先画出图形去分析，最后得出这道题目可以利用两点之间线段最短的原理或者利用三角形两边之和大于第三边的理论，那么这道题目就轻而易举地解决了.可以先作A关于x轴的对称点A ，然后连接点A 和点B，A B与x轴的交点就是点P，然后可以利用直线解析式或者相似的方法求出点P的坐标，再利用勾股定理可以算出最小值.这题很好地体现了数形结合思想，也说明了勾股定理和相似在计算中的重要性.

三、函数最值问题中的数形结合

数形结合解几何最值问题，适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解.（1）利用一元二次方程必定有解的代数模型，再运用判别式求几何最值.（2）构造二次函数，求几何最值.

例3：已知经过点A（3，0），B（1，0），C（0，3）的抛物线，在第四象限的抛物线上找一个点P，使得△ABP的面积最大.

解析：因为底边AB不变，要让面积最大，只要高线最大，我们发现可以过点P作一条与AB平行的直线，当平行直线与抛物线有一个交点时，△ABP面积最大.通过图形的分析，接下来我们就可以利用代数的方法求值.先求出抛物线的解析式y=x -4x+3，然后假设出平行直线的解析式y=-x+b，利用这两个式子联立方程组，化简得到一元二次方程x -3x+3-b=0，再利用判别式等于0求出b的值，再代回去求出点P坐标.这道题目我们也可以利用割补的方法先找到求△ABP面积的方法，然后表示出面积，最后用最值公式求出.

四、应用性问题中的数形结合

例：某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某生按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500.（1）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

解析：由第（1）小题求得w=-x +600x-5000，很多同学在第二小题求取值范围时会得出-x +600x-5000≥3000的不等式，然后会得出错误的结论，其实这是一个一元二次不等式，我们并没有学过，这道题目应该借助二次函数.我们可以先画出w=-x +600x-5000的图像，在图像上找到w≥3000的图像，从而得到x的取值范围.这就是典型的数形结合.学生的完成情况不是很理想，很少有学生顺利地解出这道题目，所以数形结合思想在平时的渗透非常重要.

数形结合是一种非常有效的数学思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”“数形结合”的方法可谓独树一帜，以其新颖的题型、独特的思维方式，吸引考生与教师的眼球.这类题目通常乍看起来十分陌生，像是从未碰到过的新题，但是仔细分析思考以后，便发现要解决这种题目并不难，只需要画一张图，将题目所给的信息、条件在图上表示，题目的答案便应运而生.这类题型是对题海战术的挑战，是对传统教学方式的颠覆，这类题型的出现，提醒我们“授之以鱼，不如授之以渔”.总之，数形结合是数学问题解决的重要方法，也是一种重要的数学思想，充分利用“形”把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、直观，从而丰富学生的表象，引发联想，探索规律，得到结论.这正符合学生从形象思维向抽象思维过渡的认知特点，在数学教学中应有意识地强调与渗透.

参考文献：

[1]端方林.应用题中的数学建模举例.中小学数学，2004.6.

[2]程华.中学数学思想方法教学问题的思考.初中数学教与学，2013.5.

[3]杨建.抛物线弓形三角形面积最大值的探究.中学数学杂志，2011.8.endprint