有关不等式恒成立求参数的方法

马宝毅

摘 要： 本文举例谈谈不等式恒成立求参数的常用方法.

关键词： 数学教学 不等式恒成立 参数 求解方法

不等式恒成立问题是数学中常见的问题，经常与参数的范围联系在一起，是数学试题中的重要题型，涉及数学各部分知识，是不等式中的重点和难点，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点.这类问题既有参数又含变量，学生往往望而生畏，常因处理不当而费时费力.怎样处理这类问题呢？函数是不等式恒成立的载体，因而运用转化思想将其转化为函数问题是一条捷径，在教学实践中笔者体会到，运用函数的有关性质求解既能解决问题又能减少运算量，可以化难为易，化繁为简，从而使问题更好地得到解决.下面笔者举例谈谈不等式恒成立求参数的常用方法.

一、实根分布法

涉及指定区间上一元二次不等式恒成立的问题，利用不等式与函数和方程之间的关系，根据“三个二次”的辩证统一关系，结合函数图像形状，考虑对称轴，顶点，区间端点，按照“三个二次”有实根分类讨论，列出不等式解决.

例1：已知函数f（x）=x -2ax+2（a∈R），当x∈[-1，+∞]时， f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围.

解：f（x）=（x-a） +2-a ，此二次函数图像的对称轴为x=a.

（1）当a∈（-∞，-1）时，f（x）在∈[-1，+∞）上单调递增.f（x） =f（-1）=2a+3，要使f（x）≥a恒成立，只需f（x） ≥a，即2a+3≥a，∴-3≤a<-1；

（2）当a∈[-1，+∞）时，f（x） =f（a）=2-a ，则，

2-a ≥a，∴-1≤a≤1.

综上所述，所求a的取值范围是[-3，1].

二、分离参数法

对于一些含参数不等式恒成立的问题，如果将不等式进行同解变形，将不等式中的变量与参数进行分离，即变量和参数分别位于不等式两边，然后通过构造变量函数，转化为求解新函数的值域或者最值问题，借助函数的最值消去变量，就能把问题转化为求只含有参数的不等式问题，一般有如下性质：①f（x）≤a，等价于f（x） ≤a；②f（x）≥a，等价于f（x） ≥a.

例2：（2010年高考全国理20）已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，

（Ⅰ）若λf′（x）≤x +ax+1，求a的取值范围；

（Ⅱ）（x-1）f（x）≥0.

解：（Ⅰ）∵f′（x）= +lnx-1=lnx+ ，（x>0）

∴xf′（x）=xlnx+1，由xf′（x）≤x +ax+1，得a≥lnx-x，令g（x）=lnx-x，则g′（x）= -1，当00，当x>1，g′（x）<0，∴x=1是最值点，g（x） =g（1）=-1，∴a≥-1，∴a的取值范围是[-1，+∞）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=lnx-x≤g（1）=-1，∴lnx-x+1≤0，，

当0

当x≥1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+lnx-x+1，

=lnx+x（lnx+ -1），

=lnx-x（ln - +1）≥0.

综上所述，（x-1）f（x）≥0.

例3：已知函数f（x）=x +alnx，若函数g（x）=f（x）+ 在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围.

解：由g（x）=x +alnx+ ，得g′（x）=2x+ - .

因为函数g（x）=x +alnx+ 在[1，4]上是减函数

则g′（x）≤0，在[1，4]上恒成立.

所以不等式2x+ - ≤0在[1，4]上恒成立.

即a≤ -2x 在[1，4]上恒成立.

设h（x）= -2x ，显然h（x）在[1，4]上为减函数.

所以h（x） =h（4）=- ，∴a的取值范围是（-∞，- ].

三、数形结合法

若含参数不等式参变量不能进行分离，则应构造关于变量的函数（如一元一次函数，一元二次函数），并结合函数图像使问题变得直观，从而形成解题思路，提高数学思维能力.

例4：当x∈[0，1]时，求ax+1>0成立的a的取值范围.

解：设f（x）=ax+1，当a=0时，ax+1>0显然成立.

当a≠0时，f（x）为一次函数，欲使f（x）=ax+1>0，在[0，1]上恒成立，其图像为线段，即两端点恒在x轴上方，要使上式不等式恒成立只需f（0）>0，且f（1）>0，即1>0，a+1>0，故a>-1，因此a的取值范围是（-1，+∞）.

四、更换主元法

某些含参数不等式恒成立问题，从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参变量互换是关键，再用数形结合思想，效果事半功倍.

例5：已知不等式x +px+1>2x+p.

（1）若不等式对于p∈[-2，2]恒成立，求实数x的取值范围；

（2）若不等式对于2≤x≤4恒成立，求实数p的取值范围.

分析：（1）若直接解关于x的不等式，再利用p∈[-2，2]求x的取值范围，显然相当复杂，因此视p为变量，x为常量，利用数形结合思想求x的取值范围.

解：原不等式可化为（x-1）p+x -2x+1>0.

令f（p）=（x-1）p+x -2x+1，由题意知f（p）>0在p∈[-2，2]上恒成立，其线段恒在x轴上方，即两端点在x轴上方，则

则f（-2）=-2（x-1）+x -2x+1>0，且

f（2）=2（x-1）+x -2x+1>0，即x -4x+3>0，且x -1>0.

解得x>3或x<-1.

故x的取值范围是（3，+∞）∪（-∞，-1）.

（2）视x为变量，p为常量，分离常量p

不等式化为（x-1）p>-x +2x-1，

∵2≤x≤4，∴x-1>0，

∴p> =1-x时，在2≤x≤4恒成立.

令g（x）=1-x，∵g（x）在x∈[2，4]上单调递减，g（x） =g（2）=-1，

∴p>g（x） =-1，故p的取值范围是（-1，+∞）.

总之，从以上解法中我们领略了解决不等式恒成立，求参数主要是善于运用函数思想进行等价转化处理.事实上，这些方法都不是孤立的，在具体解题实践中往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决.但是，不管用哪种方法都渗透了数学最本质的思想，即把问题转化为讨论函数的有关性质处理，但必须理解并掌握基本题型，并能够将一些非基本题型经过适当变形转化为基本题型，然后用基本题型的常用方法处理.笔者认为掌握以上方法是解决求参数问题的关键.

摘 要： 本文举例谈谈不等式恒成立求参数的常用方法.

关键词： 数学教学 不等式恒成立 参数 求解方法

不等式恒成立问题是数学中常见的问题，经常与参数的范围联系在一起，是数学试题中的重要题型，涉及数学各部分知识，是不等式中的重点和难点，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点.这类问题既有参数又含变量，学生往往望而生畏，常因处理不当而费时费力.怎样处理这类问题呢？函数是不等式恒成立的载体，因而运用转化思想将其转化为函数问题是一条捷径，在教学实践中笔者体会到，运用函数的有关性质求解既能解决问题又能减少运算量，可以化难为易，化繁为简，从而使问题更好地得到解决.下面笔者举例谈谈不等式恒成立求参数的常用方法.

一、实根分布法

涉及指定区间上一元二次不等式恒成立的问题，利用不等式与函数和方程之间的关系，根据“三个二次”的辩证统一关系，结合函数图像形状，考虑对称轴，顶点，区间端点，按照“三个二次”有实根分类讨论，列出不等式解决.

例1：已知函数f（x）=x -2ax+2（a∈R），当x∈[-1，+∞]时， f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围.

解：f（x）=（x-a） +2-a ，此二次函数图像的对称轴为x=a.

（1）当a∈（-∞，-1）时，f（x）在∈[-1，+∞）上单调递增.f（x） =f（-1）=2a+3，要使f（x）≥a恒成立，只需f（x） ≥a，即2a+3≥a，∴-3≤a<-1；

（2）当a∈[-1，+∞）时，f（x） =f（a）=2-a ，则，

2-a ≥a，∴-1≤a≤1.

综上所述，所求a的取值范围是[-3，1].

二、分离参数法

对于一些含参数不等式恒成立的问题，如果将不等式进行同解变形，将不等式中的变量与参数进行分离，即变量和参数分别位于不等式两边，然后通过构造变量函数，转化为求解新函数的值域或者最值问题，借助函数的最值消去变量，就能把问题转化为求只含有参数的不等式问题，一般有如下性质：①f（x）≤a，等价于f（x） ≤a；②f（x）≥a，等价于f（x） ≥a.

例2：（2010年高考全国理20）已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，

（Ⅰ）若λf′（x）≤x +ax+1，求a的取值范围；

（Ⅱ）（x-1）f（x）≥0.

解：（Ⅰ）∵f′（x）= +lnx-1=lnx+ ，（x>0）

∴xf′（x）=xlnx+1，由xf′（x）≤x +ax+1，得a≥lnx-x，令g（x）=lnx-x，则g′（x）= -1，当00，当x>1，g′（x）<0，∴x=1是最值点，g（x） =g（1）=-1，∴a≥-1，∴a的取值范围是[-1，+∞）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=lnx-x≤g（1）=-1，∴lnx-x+1≤0，，

当0

当x≥1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+lnx-x+1，

=lnx+x（lnx+ -1），

=lnx-x（ln - +1）≥0.

综上所述，（x-1）f（x）≥0.

例3：已知函数f（x）=x +alnx，若函数g（x）=f（x）+ 在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围.

解：由g（x）=x +alnx+ ，得g′（x）=2x+ - .

因为函数g（x）=x +alnx+ 在[1，4]上是减函数

则g′（x）≤0，在[1，4]上恒成立.

所以不等式2x+ - ≤0在[1，4]上恒成立.

即a≤ -2x 在[1，4]上恒成立.

设h（x）= -2x ，显然h（x）在[1，4]上为减函数.

所以h（x） =h（4）=- ，∴a的取值范围是（-∞，- ].

三、数形结合法

若含参数不等式参变量不能进行分离，则应构造关于变量的函数（如一元一次函数，一元二次函数），并结合函数图像使问题变得直观，从而形成解题思路，提高数学思维能力.

例4：当x∈[0，1]时，求ax+1>0成立的a的取值范围.

解：设f（x）=ax+1，当a=0时，ax+1>0显然成立.

当a≠0时，f（x）为一次函数，欲使f（x）=ax+1>0，在[0，1]上恒成立，其图像为线段，即两端点恒在x轴上方，要使上式不等式恒成立只需f（0）>0，且f（1）>0，即1>0，a+1>0，故a>-1，因此a的取值范围是（-1，+∞）.

四、更换主元法

某些含参数不等式恒成立问题，从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参变量互换是关键，再用数形结合思想，效果事半功倍.

例5：已知不等式x +px+1>2x+p.

（1）若不等式对于p∈[-2，2]恒成立，求实数x的取值范围；

（2）若不等式对于2≤x≤4恒成立，求实数p的取值范围.

分析：（1）若直接解关于x的不等式，再利用p∈[-2，2]求x的取值范围，显然相当复杂，因此视p为变量，x为常量，利用数形结合思想求x的取值范围.

解：原不等式可化为（x-1）p+x -2x+1>0.

令f（p）=（x-1）p+x -2x+1，由题意知f（p）>0在p∈[-2，2]上恒成立，其线段恒在x轴上方，即两端点在x轴上方，则

则f（-2）=-2（x-1）+x -2x+1>0，且

f（2）=2（x-1）+x -2x+1>0，即x -4x+3>0，且x -1>0.

解得x>3或x<-1.

故x的取值范围是（3，+∞）∪（-∞，-1）.

（2）视x为变量，p为常量，分离常量p

不等式化为（x-1）p>-x +2x-1，

∵2≤x≤4，∴x-1>0，

∴p> =1-x时，在2≤x≤4恒成立.

令g（x）=1-x，∵g（x）在x∈[2，4]上单调递减，g（x） =g（2）=-1，

∴p>g（x） =-1，故p的取值范围是（-1，+∞）.

总之，从以上解法中我们领略了解决不等式恒成立，求参数主要是善于运用函数思想进行等价转化处理.事实上，这些方法都不是孤立的，在具体解题实践中往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决.但是，不管用哪种方法都渗透了数学最本质的思想，即把问题转化为讨论函数的有关性质处理，但必须理解并掌握基本题型，并能够将一些非基本题型经过适当变形转化为基本题型，然后用基本题型的常用方法处理.笔者认为掌握以上方法是解决求参数问题的关键.

摘 要： 本文举例谈谈不等式恒成立求参数的常用方法.

关键词： 数学教学 不等式恒成立 参数 求解方法

不等式恒成立问题是数学中常见的问题，经常与参数的范围联系在一起，是数学试题中的重要题型，涉及数学各部分知识，是不等式中的重点和难点，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点.这类问题既有参数又含变量，学生往往望而生畏，常因处理不当而费时费力.怎样处理这类问题呢？函数是不等式恒成立的载体，因而运用转化思想将其转化为函数问题是一条捷径，在教学实践中笔者体会到，运用函数的有关性质求解既能解决问题又能减少运算量，可以化难为易，化繁为简，从而使问题更好地得到解决.下面笔者举例谈谈不等式恒成立求参数的常用方法.

一、实根分布法

涉及指定区间上一元二次不等式恒成立的问题，利用不等式与函数和方程之间的关系，根据“三个二次”的辩证统一关系，结合函数图像形状，考虑对称轴，顶点，区间端点，按照“三个二次”有实根分类讨论，列出不等式解决.

例1：已知函数f（x）=x -2ax+2（a∈R），当x∈[-1，+∞]时， f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围.

解：f（x）=（x-a） +2-a ，此二次函数图像的对称轴为x=a.

（1）当a∈（-∞，-1）时，f（x）在∈[-1，+∞）上单调递增.f（x） =f（-1）=2a+3，要使f（x）≥a恒成立，只需f（x） ≥a，即2a+3≥a，∴-3≤a<-1；

（2）当a∈[-1，+∞）时，f（x） =f（a）=2-a ，则，

2-a ≥a，∴-1≤a≤1.

综上所述，所求a的取值范围是[-3，1].

二、分离参数法

对于一些含参数不等式恒成立的问题，如果将不等式进行同解变形，将不等式中的变量与参数进行分离，即变量和参数分别位于不等式两边，然后通过构造变量函数，转化为求解新函数的值域或者最值问题，借助函数的最值消去变量，就能把问题转化为求只含有参数的不等式问题，一般有如下性质：①f（x）≤a，等价于f（x） ≤a；②f（x）≥a，等价于f（x） ≥a.

例2：（2010年高考全国理20）已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，

（Ⅰ）若λf′（x）≤x +ax+1，求a的取值范围；

（Ⅱ）（x-1）f（x）≥0.

解：（Ⅰ）∵f′（x）= +lnx-1=lnx+ ，（x>0）

∴xf′（x）=xlnx+1，由xf′（x）≤x +ax+1，得a≥lnx-x，令g（x）=lnx-x，则g′（x）= -1，当00，当x>1，g′（x）<0，∴x=1是最值点，g（x） =g（1）=-1，∴a≥-1，∴a的取值范围是[-1，+∞）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=lnx-x≤g（1）=-1，∴lnx-x+1≤0，，

当0

当x≥1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+lnx-x+1，

=lnx+x（lnx+ -1），

=lnx-x（ln - +1）≥0.

综上所述，（x-1）f（x）≥0.

例3：已知函数f（x）=x +alnx，若函数g（x）=f（x）+ 在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围.

解：由g（x）=x +alnx+ ，得g′（x）=2x+ - .

因为函数g（x）=x +alnx+ 在[1，4]上是减函数

则g′（x）≤0，在[1，4]上恒成立.

所以不等式2x+ - ≤0在[1，4]上恒成立.

即a≤ -2x 在[1，4]上恒成立.

设h（x）= -2x ，显然h（x）在[1，4]上为减函数.

所以h（x） =h（4）=- ，∴a的取值范围是（-∞，- ].

三、数形结合法

若含参数不等式参变量不能进行分离，则应构造关于变量的函数（如一元一次函数，一元二次函数），并结合函数图像使问题变得直观，从而形成解题思路，提高数学思维能力.

例4：当x∈[0，1]时，求ax+1>0成立的a的取值范围.

解：设f（x）=ax+1，当a=0时，ax+1>0显然成立.

当a≠0时，f（x）为一次函数，欲使f（x）=ax+1>0，在[0，1]上恒成立，其图像为线段，即两端点恒在x轴上方，要使上式不等式恒成立只需f（0）>0，且f（1）>0，即1>0，a+1>0，故a>-1，因此a的取值范围是（-1，+∞）.

四、更换主元法

某些含参数不等式恒成立问题，从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参变量互换是关键，再用数形结合思想，效果事半功倍.

例5：已知不等式x +px+1>2x+p.

（1）若不等式对于p∈[-2，2]恒成立，求实数x的取值范围；

（2）若不等式对于2≤x≤4恒成立，求实数p的取值范围.

分析：（1）若直接解关于x的不等式，再利用p∈[-2，2]求x的取值范围，显然相当复杂，因此视p为变量，x为常量，利用数形结合思想求x的取值范围.

解：原不等式可化为（x-1）p+x -2x+1>0.

令f（p）=（x-1）p+x -2x+1，由题意知f（p）>0在p∈[-2，2]上恒成立，其线段恒在x轴上方，即两端点在x轴上方，则

则f（-2）=-2（x-1）+x -2x+1>0，且

f（2）=2（x-1）+x -2x+1>0，即x -4x+3>0，且x -1>0.

解得x>3或x<-1.

故x的取值范围是（3，+∞）∪（-∞，-1）.

（2）视x为变量，p为常量，分离常量p

不等式化为（x-1）p>-x +2x-1，

∵2≤x≤4，∴x-1>0，

∴p> =1-x时，在2≤x≤4恒成立.

令g（x）=1-x，∵g（x）在x∈[2，4]上单调递减，g（x） =g（2）=-1，

∴p>g（x） =-1，故p的取值范围是（-1，+∞）.

总之，从以上解法中我们领略了解决不等式恒成立，求参数主要是善于运用函数思想进行等价转化处理.事实上，这些方法都不是孤立的，在具体解题实践中往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决.但是，不管用哪种方法都渗透了数学最本质的思想，即把问题转化为讨论函数的有关性质处理，但必须理解并掌握基本题型，并能够将一些非基本题型经过适当变形转化为基本题型，然后用基本题型的常用方法处理.笔者认为掌握以上方法是解决求参数问题的关键.