运用数学思维方法，培养数学解题能力

刘风

摘 要： 数学思维能力是衡量学生数学能力的一个重要指标，而数学思维方法是数学思维能力的具体表现形式.当前高考以能力立意命题说明高中数学教学要更多地关注学生的思维能力.

关键词： 数学思维方法 数学解题能力 高中数学教学

思维方法是人们通过思维活动为了实现特定思维目的所凭借的途径、手段或办法，也就是思维过程中所运用的工具和手段.思维方法属于思维方式范畴，是思维方式的一个侧面，是思维方式具体而集中的体现.

思维方法是由诸层次、诸要素构成的复杂系统.按其作用范围的不同，可以把思维方法划分为三大层次：一般的思维方法、各门具体科学共同的思维方法和各门科学所特有的思维方法.下面我就从高中数学学科方面谈谈数学解题思维方法.

1.观察法

数学问题千变万化，要想既快又准地解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须善于观察题设的特征，提出灵活的设想和解题方案.

例1：若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2 ，则2a+b+c的最小值为？摇 ？摇.

【答案】2（ -1）

【分析】观察给定的条件，感觉应该使用均值不等式求最小值.由a（a+b+c）+bc=4-2 得（a+c）（a+b）=4-2 .

又∵a，b，c>0，∴（a+c）（a+b）≤（ ） ，当且仅当b=c时取等号.

∴2a+b+c≥2 =2（ -1）.

解题的关键是观察发现已知条件和待证结论的变形的具体方向，发现两者之间的关系.

感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉.观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提.

任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系.要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入、细致、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法.

例2：（2012浙江.理17）设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x -ax-1）≥0，则a=？摇 ？摇.

【答案】a=

【分析】我们观察知：函数y =（a-1）x-1，y =x -ax-1都过定点P（0，1）.考查函数y =（a-1）x-1：令y=0，得M（ ，0），还可分析得：a>1；考查函数y =x -ax-1：显然过点M（ ，0），代入得：（ ） - -1=0，解之得：a=± ，舍去a=- ，得a= .

2.联想法

例3：设{a }是公比为q的等比数列，S 是它的前n项和，若{S }是等差数列，则q=？摇 ？摇.

【答案】q=1

【分析】联想到非零的常数列{c}是公比为1的等比数列，且前n项和数列{n }是公差为c的等差数列，可知q=1.

联想是问题转化的桥梁.稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的.因此，解题方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入.

3.转化法

例4：（2012江苏.14）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则 的取值范围是？摇 ？摇.

【答案】[e，7]

【分析】条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可转化为：

3· + ≥5 + ≤4 ≥e .

设 =x，y= ，则题目转化为：已知x，y满足3x+y≥5x+y≤4y≥e x>0，y>0，求 的取值范围.作出（x，y）所在平面区域（如图）.求出y=e 的切线的斜率e，设过切点P（x ，y ）的切线为y=ex+m（m≥0），则 = =e+ ，要使它最小，须m=0.

∴ 的最小值在P（x ，y ）处，为e.此时，点P（x ，y ）在y=e 上A，B之间.

当（x，y）对应点C时，y=4-xy-5-3x？圯5y=20-5x4y=20-12x？圯y=7x？圯 =7，∴ 的最大值在C处，为7，∴ 的取值范围为[e，7]，即 的取值范围是[e，7].

数学解题本质上是命题的连续变换.可见，解题过程只有通过问题的转化才能完成.转化是解数学题的一种十分重要的思维方法.那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题.在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系.

综上所述，善于运用观察法、联想法、转化法，是培养数学思维能力的具体方法.要想提高数学解题能力，必须进行相应的思维方法的训练.endprint

摘 要： 数学思维能力是衡量学生数学能力的一个重要指标，而数学思维方法是数学思维能力的具体表现形式.当前高考以能力立意命题说明高中数学教学要更多地关注学生的思维能力.

关键词： 数学思维方法 数学解题能力 高中数学教学

思维方法是人们通过思维活动为了实现特定思维目的所凭借的途径、手段或办法，也就是思维过程中所运用的工具和手段.思维方法属于思维方式范畴，是思维方式的一个侧面，是思维方式具体而集中的体现.

思维方法是由诸层次、诸要素构成的复杂系统.按其作用范围的不同，可以把思维方法划分为三大层次：一般的思维方法、各门具体科学共同的思维方法和各门科学所特有的思维方法.下面我就从高中数学学科方面谈谈数学解题思维方法.

1.观察法

数学问题千变万化，要想既快又准地解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须善于观察题设的特征，提出灵活的设想和解题方案.

例1：若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2 ，则2a+b+c的最小值为？摇 ？摇.

【答案】2（ -1）

【分析】观察给定的条件，感觉应该使用均值不等式求最小值.由a（a+b+c）+bc=4-2 得（a+c）（a+b）=4-2 .

又∵a，b，c>0，∴（a+c）（a+b）≤（ ） ，当且仅当b=c时取等号.

∴2a+b+c≥2 =2（ -1）.

解题的关键是观察发现已知条件和待证结论的变形的具体方向，发现两者之间的关系.

感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉.观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提.

任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系.要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入、细致、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法.

例2：（2012浙江.理17）设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x -ax-1）≥0，则a=？摇 ？摇.

【答案】a=

【分析】我们观察知：函数y =（a-1）x-1，y =x -ax-1都过定点P（0，1）.考查函数y =（a-1）x-1：令y=0，得M（ ，0），还可分析得：a>1；考查函数y =x -ax-1：显然过点M（ ，0），代入得：（ ） - -1=0，解之得：a=± ，舍去a=- ，得a= .

2.联想法

例3：设{a }是公比为q的等比数列，S 是它的前n项和，若{S }是等差数列，则q=？摇 ？摇.

【答案】q=1

【分析】联想到非零的常数列{c}是公比为1的等比数列，且前n项和数列{n }是公差为c的等差数列，可知q=1.

联想是问题转化的桥梁.稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的.因此，解题方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入.

3.转化法

例4：（2012江苏.14）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则 的取值范围是？摇 ？摇.

【答案】[e，7]

【分析】条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可转化为：

3· + ≥5 + ≤4 ≥e .

设 =x，y= ，则题目转化为：已知x，y满足3x+y≥5x+y≤4y≥e x>0，y>0，求 的取值范围.作出（x，y）所在平面区域（如图）.求出y=e 的切线的斜率e，设过切点P（x ，y ）的切线为y=ex+m（m≥0），则 = =e+ ，要使它最小，须m=0.

∴ 的最小值在P（x ，y ）处，为e.此时，点P（x ，y ）在y=e 上A，B之间.

当（x，y）对应点C时，y=4-xy-5-3x？圯5y=20-5x4y=20-12x？圯y=7x？圯 =7，∴ 的最大值在C处，为7，∴ 的取值范围为[e，7]，即 的取值范围是[e，7].

数学解题本质上是命题的连续变换.可见，解题过程只有通过问题的转化才能完成.转化是解数学题的一种十分重要的思维方法.那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题.在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系.

综上所述，善于运用观察法、联想法、转化法，是培养数学思维能力的具体方法.要想提高数学解题能力，必须进行相应的思维方法的训练.endprint

摘 要： 数学思维能力是衡量学生数学能力的一个重要指标，而数学思维方法是数学思维能力的具体表现形式.当前高考以能力立意命题说明高中数学教学要更多地关注学生的思维能力.

关键词： 数学思维方法 数学解题能力 高中数学教学

思维方法是人们通过思维活动为了实现特定思维目的所凭借的途径、手段或办法，也就是思维过程中所运用的工具和手段.思维方法属于思维方式范畴，是思维方式的一个侧面，是思维方式具体而集中的体现.

思维方法是由诸层次、诸要素构成的复杂系统.按其作用范围的不同，可以把思维方法划分为三大层次：一般的思维方法、各门具体科学共同的思维方法和各门科学所特有的思维方法.下面我就从高中数学学科方面谈谈数学解题思维方法.

1.观察法

数学问题千变万化，要想既快又准地解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须善于观察题设的特征，提出灵活的设想和解题方案.

例1：若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc=4-2 ，则2a+b+c的最小值为？摇 ？摇.

【答案】2（ -1）

【分析】观察给定的条件，感觉应该使用均值不等式求最小值.由a（a+b+c）+bc=4-2 得（a+c）（a+b）=4-2 .

又∵a，b，c>0，∴（a+c）（a+b）≤（ ） ，当且仅当b=c时取等号.

∴2a+b+c≥2 =2（ -1）.

解题的关键是观察发现已知条件和待证结论的变形的具体方向，发现两者之间的关系.

感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉.观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提.

任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系.要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入、细致、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法.

例2：（2012浙江.理17）设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x -ax-1）≥0，则a=？摇 ？摇.

【答案】a=

【分析】我们观察知：函数y =（a-1）x-1，y =x -ax-1都过定点P（0，1）.考查函数y =（a-1）x-1：令y=0，得M（ ，0），还可分析得：a>1；考查函数y =x -ax-1：显然过点M（ ，0），代入得：（ ） - -1=0，解之得：a=± ，舍去a=- ，得a= .

2.联想法

例3：设{a }是公比为q的等比数列，S 是它的前n项和，若{S }是等差数列，则q=？摇 ？摇.

【答案】q=1

【分析】联想到非零的常数列{c}是公比为1的等比数列，且前n项和数列{n }是公差为c的等差数列，可知q=1.

联想是问题转化的桥梁.稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的.因此，解题方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入.

3.转化法

例4：（2012江苏.14）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则 的取值范围是？摇 ？摇.

【答案】[e，7]

【分析】条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可转化为：

3· + ≥5 + ≤4 ≥e .

设 =x，y= ，则题目转化为：已知x，y满足3x+y≥5x+y≤4y≥e x>0，y>0，求 的取值范围.作出（x，y）所在平面区域（如图）.求出y=e 的切线的斜率e，设过切点P（x ，y ）的切线为y=ex+m（m≥0），则 = =e+ ，要使它最小，须m=0.

∴ 的最小值在P（x ，y ）处，为e.此时，点P（x ，y ）在y=e 上A，B之间.

当（x，y）对应点C时，y=4-xy-5-3x？圯5y=20-5x4y=20-12x？圯y=7x？圯 =7，∴ 的最大值在C处，为7，∴ 的取值范围为[e，7]，即 的取值范围是[e，7].

数学解题本质上是命题的连续变换.可见，解题过程只有通过问题的转化才能完成.转化是解数学题的一种十分重要的思维方法.那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题.在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系.

综上所述，善于运用观察法、联想法、转化法，是培养数学思维能力的具体方法.要想提高数学解题能力，必须进行相应的思维方法的训练.endprint