让学生具备正确、迅速的运算求解能力

陈蓓璞

在使用高中新教材教学的过程中，不少教师感觉学生运算能力差，即便是数学基础好的学生，其运算也常常出错，这凸显了对学生进行运算求解能力培养的紧迫性.

有的教师认为，实施新课程改革后，对运算能力的要求降低了，这在一定程度上削弱了学生的运算能力.让我们一起回顾一下高考考试说明，看看高考对高中生的运算能力有什么要求.课改前，高考考试说明把运算能力列为四大能力之一，要求：“会根据概念、公式、法则进行数、式、方程的正确运算和变形；能分析条件、寻求与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计，并能进行近似计算.”新课程下的高考，提出五大能力和两项意识的要求，即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力和应用意识、创新意识.新课程高考考试说明指出：“运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，是中学数学中要求培养的重要能力.运算包括对数字的计算、估算和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.运算求解能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.”以上叙述，就运算求解能力的意义、要求范畴、能力范围做出了明确规定，同时就运算的合理性、准确性、熟练性、简捷性提出了具体要求.

新课程高考关于运算求解能力的要求不是降低了，而是更具体、更具可操作性了.它不仅是其他数学能力的基础，而且是思维能力的体现方式之一；不仅有精确运算，还有估算和近似计算；不仅有数的运算，还有式的分解、组合变形；不仅有代数运算，还有几何量的计算.那么，怎样让学生具备正确、迅速的运算求解能力呢？笔者进行了以下思考，求教于方家.

一、厘清相关的概念、原理、法则是前提

在教学中，让学生牢固掌握运算所需要的概念、性质、公式、法则、定理等，是进行数学运算的基础.在讲授新课时，应让学生经历由具体到抽象、由感性到理性的过程，自然地形成概念，导出公式、法则.弄清它们的来龙去脉，明确条件是什么？结论是什么？在什么范围内使用？要透彻地阐明概念的本质属性，揭示概念的内涵和外延；要深刻分析公式和法则的实质，揭示出带规律性的东西.对于那些相关的概念和易混淆的公式、法则，可通过列表、图示等方法进行对比，指出它们的联系和区别，澄清容易产生混淆之处.同时，对公式、法则的使用方面，要做到“顺用”、“逆用”、“变形用”，以便及时发现典型错误，并通过正反例题予以纠正.例如：

1.如图，已知正六边形P P P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ）

A. · B. ·

C. · D. ·

分析：本题考查的是对向量数量积定义的理解， · =| || |cosθ，其中| |cosθ为b在 上的投影，显然 在 上的投影最大.故选A.即使不清楚投影的概念，也可以算出正确答案，但过程较繁琐.

2.已知f（x-1）的定义域为[1，2]，求f（2x）的定义域.

分析：本题考查的是函数图像的变换.f（x-1）向右平移1个单位变换成f（x），f（x）的横坐标缩短为原来的 ，变换成f（2x）.所以定义域由[1，2]变换成[2，3]，再变换成[1， ].如果不明白函数图像变换的原理，也能解这种题目，但过程不过直观，学生不易理解.

3.已知△ABC和点M满足 + + =0，若存在实数m使得 + =m 成立，则m=（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：本题考查向量的加减运算，利用起点的转换.因为 + + =0，所以- +（ - ）+（ - ）=0，即 + =3 ，故m=3.如果不领会向量的运算法则，则利用M为△ABC的重心，也能解出答案，但过程较复杂.

以上例子说明厘清相关概念、原理、法则的重要性，它可以帮助学生找到最佳的解题途径，避免繁琐的运算.通过批改作业、试卷发现问题，并通过类似上面的例子加深学生对正确应用数学概念、原理、法则解题的认识.

二、弄懂弄通算法、算理、算律是基础

运算能力主要表现为：对“算理”理解透彻，能根据问题的条件寻找并设计合理、有效的运算途径，通过运算对问题进行推理和探求.其中算法、算理、算律是基础，这些基础不扎实，能力培养只能是空中楼阁.因此，我们必须在弄懂、弄通必要的算法、算理、算律上下工夫.比如，数学运算是有层次性的，应要求学生在运算上一步一个脚印地扎扎实实地练习，切不可轻视那些简单的、低级的运算.又如，数学运算是有程序性的，即第一步做什么，第二步做什么，等等，有一定的规律可循.运算的程序反映了该运算的规律，如果不掌握这些规律去解题，就只能是胡猜乱碰.因此，教师要引导、帮助学生有意识地发现和总结这些带规律性的东西，从而提高运算的成功率.在数的运算的学习中，重点应该放在提高运算能力上，即要懂“算理”，会设计合理的“算法”.“算理”所讲的是各种基本运算的意义、法则、运算律、有关规则和一般步骤之“理”，是对为什么这样规定、它有什么作用的解释；“算法”是指“算”的途径和方法，并且是可行的和有效的.所以在“运算”过程中，要重视讲“理”，重视算法多样化.此外，会按照一定的程序和步骤进行计算，是运算的技能要求，是学生需要掌握的基本技能之一，运算能力的培养离不开运算技能的训练，它有助于学生理解“算理”、体会“算法”.

三、正确进行运算中的推理是关键

运算离不开逻辑推理，运算过程是应用三段论法的过程.要提高学生的运算能力，必须提高其推理能力.在教学时既要使学生了解“怎样运算”，又要明确“为什么要这样运算”，这样才能保证运算的合理性.在实际教学中，许多数学教师对这一点不够重视，表现在对于学生不合理的运算推理、运算方法不给予评价、校正，常以答案正确与否为评价的唯一标准，甚至在课堂上经常出现这样的说法：“下面是消去x、y，便可得到结果……”，“下面是具体运算，请同学们课后完成”.学生课后是否会做，如何消元，学生能否解决，教师根本不了解.而且，学生在课后做作业时也热衷于对答案，发现问题不追查原因，只改抄答案，特别是对复杂的运算不感兴趣.久而久之，运算上的不少薄弱环节的累积，直接影响学生运算能力的提高.因此，教师应克服这种重运算结果、轻推理过程的教学现象.endprint

四、重视运算的简捷性和灵活性

运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度方面的要求，它是学生思维深刻性和灵活性的体现.要提高学生合理进行运算的能力，“一题多解”是一个很好的训练方法.因为通过“一题多解”，就可比较哪一种解法既正确又简捷，从而确定合理的解法.从认知角度看，运算的多解性是感性阶段，而合理运算则是运算的理性阶段.由多解性通过分析、比较培养学生运算概括能力，从而进入运算合理性的阶段，这是一个由量变到质变的过程.为了简化运算，往往需要应用等价转换的原则，其实，数学问题的解决过程，就是一系列等价转换的过程，不同的转换途径，会产生不同的推理与计算的程序，而在转换中具备求简意识十分重要.

例如：已知函数f（x）= ，x∈[1，+∞），若对任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围.

解法一：在区间[1，+∞）上，f（x）= >0恒成立？圳x +2x+a>0恒成立，设y=x +2x+a在[1，+∞）上递增，当x=1时，y =3+a，所以，当且仅当y =3+a>0时，函数恒成立，即a>-3.

解法二：f（x）=x+ +2，x∈[1，+∞），当a≥0的值恒为正，当a<0时，函数f（x）为增函数，故当x=1时f（x） =3+a，于是当且仅当3+a>0时恒成立，所以a>-3.

解法三：在区间[1，+∞）上f（x）= 恒成立？圳x +2x+a>0恒成立a>-x -2x恒成立，故a应大于u=-x -2x，x∈[1，+∞）时的最大值为-3，∴a>-（x+1） +1，当x=1时，取得最大值-3，所以a>-3.

以上三种解法是处理含参函数中，参数取值范围的常用方法.本题的三种解法在简捷性与灵活性方面没有太大的差异，但是若将其变式，则情况就不同了.

变式：把题目中的f（x）>0改为f（x）>a，应如何求a的取值范围？

利用法一，f（x）= >a可转化为x +2x+a>ax即x +（2-a）x+a>0就得分类讨论，较复杂.

利用法二，f（x）=x+ +2>a，对于a>0的情形也得分类讨论才能得出最值.

利用法三，f（x）= 可转化为x +2x+a>ax，等价于a< .

而 = =（x-1）+ +4≥4+2 ，

当且仅当x= +1时等号成立，所以a<4+2 .

以上三种解法中，显然解法三最简单且不易错，由“参变分离”，即把参数（已知字母）a和变量x分离在不等式的两边，避免了带参数分类讨论这一既繁琐又容易出错的运算求解过程.教师讲评练习时要注意一题多解，注意题目的变式，一题多变，加强各种解题方法优劣的甄别.帮助学生归纳总结解题思路，全面掌握、正确判断，采用最简捷有效的方法解题，从而避免错误，提高运算求解能力.

五、培养学生良好的学习习惯

良好的学习习惯是决定运算求解能力的重要因素.数学这门课程，由于它自身严密的特点，容不得学生有丝毫的马虎和粗心.学生在运算中出现的错误，有一部分源于不良的学习习惯.在教学中，教师要让学生养成在做题前认真审题、细心观察、规范书写等良好习惯，在数学学习过程中，遇到简单运算问题不用计算器，在心算、口算、笔算中形成对运算结果正确与否的判断.

我国中学数学教育具有重视基础知识、基本技能的训练和能力培养的传统，新高中数学课程应发扬这种传统.教学实践表明，提高学生的运算求解能力是一项复杂系统的工程，是一项长期的教学任务，不可能一蹴而就.只要我们珍惜每一次训练机会，有计划、有目标、有意识地进行长期渗透，使学生逐步领悟运算求解能力的实质，就必然会促使学生养成正确、合理、快速进行运算求解的习惯，真正提高运算求解能力.endprint

四、重视运算的简捷性和灵活性

运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度方面的要求，它是学生思维深刻性和灵活性的体现.要提高学生合理进行运算的能力，“一题多解”是一个很好的训练方法.因为通过“一题多解”，就可比较哪一种解法既正确又简捷，从而确定合理的解法.从认知角度看，运算的多解性是感性阶段，而合理运算则是运算的理性阶段.由多解性通过分析、比较培养学生运算概括能力，从而进入运算合理性的阶段，这是一个由量变到质变的过程.为了简化运算，往往需要应用等价转换的原则，其实，数学问题的解决过程，就是一系列等价转换的过程，不同的转换途径，会产生不同的推理与计算的程序，而在转换中具备求简意识十分重要.

例如：已知函数f（x）= ，x∈[1，+∞），若对任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围.

解法一：在区间[1，+∞）上，f（x）= >0恒成立？圳x +2x+a>0恒成立，设y=x +2x+a在[1，+∞）上递增，当x=1时，y =3+a，所以，当且仅当y =3+a>0时，函数恒成立，即a>-3.

解法二：f（x）=x+ +2，x∈[1，+∞），当a≥0的值恒为正，当a<0时，函数f（x）为增函数，故当x=1时f（x） =3+a，于是当且仅当3+a>0时恒成立，所以a>-3.

解法三：在区间[1，+∞）上f（x）= 恒成立？圳x +2x+a>0恒成立a>-x -2x恒成立，故a应大于u=-x -2x，x∈[1，+∞）时的最大值为-3，∴a>-（x+1） +1，当x=1时，取得最大值-3，所以a>-3.

以上三种解法是处理含参函数中，参数取值范围的常用方法.本题的三种解法在简捷性与灵活性方面没有太大的差异，但是若将其变式，则情况就不同了.

变式：把题目中的f（x）>0改为f（x）>a，应如何求a的取值范围？

利用法一，f（x）= >a可转化为x +2x+a>ax即x +（2-a）x+a>0就得分类讨论，较复杂.

利用法二，f（x）=x+ +2>a，对于a>0的情形也得分类讨论才能得出最值.

利用法三，f（x）= 可转化为x +2x+a>ax，等价于a< .

而 = =（x-1）+ +4≥4+2 ，

当且仅当x= +1时等号成立，所以a<4+2 .

以上三种解法中，显然解法三最简单且不易错，由“参变分离”，即把参数（已知字母）a和变量x分离在不等式的两边，避免了带参数分类讨论这一既繁琐又容易出错的运算求解过程.教师讲评练习时要注意一题多解，注意题目的变式，一题多变，加强各种解题方法优劣的甄别.帮助学生归纳总结解题思路，全面掌握、正确判断，采用最简捷有效的方法解题，从而避免错误，提高运算求解能力.

五、培养学生良好的学习习惯

良好的学习习惯是决定运算求解能力的重要因素.数学这门课程，由于它自身严密的特点，容不得学生有丝毫的马虎和粗心.学生在运算中出现的错误，有一部分源于不良的学习习惯.在教学中，教师要让学生养成在做题前认真审题、细心观察、规范书写等良好习惯，在数学学习过程中，遇到简单运算问题不用计算器，在心算、口算、笔算中形成对运算结果正确与否的判断.

我国中学数学教育具有重视基础知识、基本技能的训练和能力培养的传统，新高中数学课程应发扬这种传统.教学实践表明，提高学生的运算求解能力是一项复杂系统的工程，是一项长期的教学任务，不可能一蹴而就.只要我们珍惜每一次训练机会，有计划、有目标、有意识地进行长期渗透，使学生逐步领悟运算求解能力的实质，就必然会促使学生养成正确、合理、快速进行运算求解的习惯，真正提高运算求解能力.endprint

四、重视运算的简捷性和灵活性

运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度方面的要求，它是学生思维深刻性和灵活性的体现.要提高学生合理进行运算的能力，“一题多解”是一个很好的训练方法.因为通过“一题多解”，就可比较哪一种解法既正确又简捷，从而确定合理的解法.从认知角度看，运算的多解性是感性阶段，而合理运算则是运算的理性阶段.由多解性通过分析、比较培养学生运算概括能力，从而进入运算合理性的阶段，这是一个由量变到质变的过程.为了简化运算，往往需要应用等价转换的原则，其实，数学问题的解决过程，就是一系列等价转换的过程，不同的转换途径，会产生不同的推理与计算的程序，而在转换中具备求简意识十分重要.

例如：已知函数f（x）= ，x∈[1，+∞），若对任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围.

解法一：在区间[1，+∞）上，f（x）= >0恒成立？圳x +2x+a>0恒成立，设y=x +2x+a在[1，+∞）上递增，当x=1时，y =3+a，所以，当且仅当y =3+a>0时，函数恒成立，即a>-3.

解法二：f（x）=x+ +2，x∈[1，+∞），当a≥0的值恒为正，当a<0时，函数f（x）为增函数，故当x=1时f（x） =3+a，于是当且仅当3+a>0时恒成立，所以a>-3.

解法三：在区间[1，+∞）上f（x）= 恒成立？圳x +2x+a>0恒成立a>-x -2x恒成立，故a应大于u=-x -2x，x∈[1，+∞）时的最大值为-3，∴a>-（x+1） +1，当x=1时，取得最大值-3，所以a>-3.

以上三种解法是处理含参函数中，参数取值范围的常用方法.本题的三种解法在简捷性与灵活性方面没有太大的差异，但是若将其变式，则情况就不同了.

变式：把题目中的f（x）>0改为f（x）>a，应如何求a的取值范围？

利用法一，f（x）= >a可转化为x +2x+a>ax即x +（2-a）x+a>0就得分类讨论，较复杂.

利用法二，f（x）=x+ +2>a，对于a>0的情形也得分类讨论才能得出最值.

利用法三，f（x）= 可转化为x +2x+a>ax，等价于a< .

而 = =（x-1）+ +4≥4+2 ，

当且仅当x= +1时等号成立，所以a<4+2 .

以上三种解法中，显然解法三最简单且不易错，由“参变分离”，即把参数（已知字母）a和变量x分离在不等式的两边，避免了带参数分类讨论这一既繁琐又容易出错的运算求解过程.教师讲评练习时要注意一题多解，注意题目的变式，一题多变，加强各种解题方法优劣的甄别.帮助学生归纳总结解题思路，全面掌握、正确判断，采用最简捷有效的方法解题，从而避免错误，提高运算求解能力.

五、培养学生良好的学习习惯

良好的学习习惯是决定运算求解能力的重要因素.数学这门课程，由于它自身严密的特点，容不得学生有丝毫的马虎和粗心.学生在运算中出现的错误，有一部分源于不良的学习习惯.在教学中，教师要让学生养成在做题前认真审题、细心观察、规范书写等良好习惯，在数学学习过程中，遇到简单运算问题不用计算器，在心算、口算、笔算中形成对运算结果正确与否的判断.

我国中学数学教育具有重视基础知识、基本技能的训练和能力培养的传统，新高中数学课程应发扬这种传统.教学实践表明，提高学生的运算求解能力是一项复杂系统的工程，是一项长期的教学任务，不可能一蹴而就.只要我们珍惜每一次训练机会，有计划、有目标、有意识地进行长期渗透，使学生逐步领悟运算求解能力的实质，就必然会促使学生养成正确、合理、快速进行运算求解的习惯，真正提高运算求解能力.endprint